22．(本题满分14分)

设函数y=(sinx+a)(cosx+a)+a³－(8－)a+，x∈R，其中a＞，将y的最小值记为g(a).

(Ⅰ)求g(a)的表达式；

(Ⅱ)讨论g(a)在区间[，+∞)内的单调性并求极值.

解:(Ⅰ)y=sinx cosx+a(sinx +cosx)+a²+a³－(8－)a+.

令sinx +cosx=t,　 t∈[－，]，则sinx cosx=，

∴y=+at+a²+a³－(8－)a+

=(t+a)²+－+a³－(8－)a+，

又∵t∈[－，]，a＞

∴当t=－时 y_min=－a+a²+a³－(8－)a+

=a³+a²－8a+2，

即g(a)=a³+a²－8a+2.

(Ⅱ)g(a)= a²+2a－8=(a－2)(a+4)，

令g(a)=0得a=2或a=－4.

所以g(a)在区间(，2)上是单调递减函数, 在区间(2,+∞)上是单调递增函数.当a=2时,g(a)有极小值,极小值为－.

21.(本题满分12分)

设函数f(x)=x³+bx²+cx+d(x∈R)的图象过原点且g(x)=f(x)+f(x)是奇函数.

(Ⅰ)求f(x)，g(x)的解析式；

(Ⅱ)过点(2，－4)分别作f(x)，g(x)的切线,求两条切线的夹角.

解:(Ⅰ)函数f(x)的图象过原点得：d=0

　　　 则g(x)=x³+bx²+cx+3x²+2bx+c

　　　　 =x³+(b+3)x²+(c+2b)x+c

由g(x)是奇函数得：c=0；

又g(－x)=－g(x)得： b+3=0　 即b=－3

∴f(x)=x³－3x² ，g(x)= x³－6x.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知点(2，－4)在f(x)上,也在g(x)上，

设f(x)的切线为l₁，斜率为k₁，

k₁= f(2)=3x²－6x| =0；

设g(x)的切线为l₂，斜率为k₂，

k₂= g(2)=3x²－6| =6；　

∴两条切线的夹角为arctan6.

20.(本题满分12分)

　 某种杂志成本是每本2元,原以每本2.5元的单价销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,问x为何值时,能获得最大利润?最大利润是多少?

　 分析:

	成本(元)	单价(元)	销售量(万本)	利润(万元)
提价前	2	2.5	8	(2.5－2)×8=4
提价后	2	x	8－	y

解:设总的利润为y万元.于是

　 y=(x-2)( 8－)=－2x+17x－26,(2＜x＜6.5)

　 令y=－4x+17=0,得x=时,y有最大值(万元)

19.(本题满分12分)

经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下：

求:(Ⅰ)每天不超过20人排队结算的概率是多少?

(Ⅱ)一周7天中,若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口?

解：(Ⅰ)每天不超过20人排队结算的概率为：

P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75

(Ⅱ)每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05=；

　　 一周7天中没有出现超过15人结算的概率为C() ；

一周7天中有一天出现超过15人结算的概率为C()()⁶= C()；

一周7天中有两天出现超过15人结算的概率为C ()²()⁵= C ()；

∴有3天以上(含3天)出现超过15人结算的概率为1－[C() +C()+

C ()]=＞0.75，

所以该商场需要增加结算窗口.

18.(本题满分12分)

在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？

(Ⅰ)与x轴平行

(Ⅱ)平行于第一象限角的平分线.

(Ⅲ)与x轴相交成45°角

解：=－2x

(Ⅰ)当切线与x轴平行时，导数，即，所以在点(0，2)的切线与x轴平行.

(Ⅱ)当切线平行于第一象限角的平分线，导数，即，所以在点(，)的切线平行于第一象限角的平分线.

(Ⅲ)与x轴相交成45°角，导数为1或－1，

若导数，即，求得点为(，)；

　若导数，即，求得点为(，).

所以在点(，)、(，)与x轴相交成45°角.

17.(本题满分12分)

　 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.

(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

　 (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

　 (注：本小题结果可用分数表示)

解：(Ⅰ)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，

则，，，，

所以该选手进入第四轮才被淘汰的概率．

(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率

．

16.如图是函数y=f(x)的导函数y= f(x)的图象,则下面哪些判断是正确的,请将正确答案的序号填在　　　　　 上.

A.在区间 (－2,1)内, f(x)是增函数；

B.在区间(1，3)内, f(x)是减函数；

　 C.在区间(2，4)内，f(x)是减函数；

　 D.在区间(4，5)内，f(x)是增函数；

　 E.当x=0时，f(x)能取到极大值；

　 F.当x=1时，f(x)能取到极大值；

　 G.当x=2时，f(x)能取到极大值；

　 H.当x=4时，f(x)能取到极大值.

答案：C、D、G.

15.高三(1)班授课老师、男生、女生人数之比为3∶7∶8，现在要用分层抽样法从中抽取n人去欢迎某奥运冠军来校参观,若被抽取的男生为14人,则被抽取的总人数n=　　　　 .

　 答案:36

14.函数y=(x+1)(x²－1)的单调递增区间是　　　　　 .

　 答案:(－∞,－1)和(,+∞)

13.若f(x)=x³，则f(－2)=　　　　 ，[f(－2)]=　　　　 .

　 答案：12；0