17．解 (Ⅰ)∵ ，，，

∴ a－2bsinA = 0，由正弦定理得 sinA－2sinB sinA = 0．　　 …………………… 3分

∵ 0＜A，B，C＜p，∴ ，得 或．　 …………………… 6分

(Ⅱ)∵ △ABC是锐角三角形，

∴ ，，

于是 ==．

…………………… 9分

由 　及 0＜C＜，得 ．

结合0＜A＜，∴ ，得 ，

∴ ，即 ．　　　　　　　　　　　　 …………………… 12分

13．{ x︱0＜x＜3 }　　 14．()或　 　　15．12　　　 16．①④

ADCD　　　　　 BACD　　　　 CBAB

22．解　 设等差数列{ a_n }的公差为d，等比数列{ b_n }公比为q．

(Ⅰ)∵ ，∴ ，而 a₁ = b₁ = 1，则 q(2 + d)= 12．①

又 ∵ b₂是a₁，a₃的等差中项，

∴ a₁ + a₃ = 2b₂，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q． ②

联立①，②，解得 　或 　　　　　　　　　…………………… 4分

所以 a_n = 1 +(n－1)· 2 = 2n－1，b_n = 3^n－1；

或 a_n = 1 +(n－1)·(－5)= 6－5n，b_n =(－4)^n－1． 　　　…………………… 6分

(Ⅱ) ∵ a_n∈N^*，，

∴ ，即 q^d = 3²．　　　　　　　　　　 ①　　 …………………… 8分

由(Ⅰ)知　 q ( 2 + d ) = 12，得 ．　　　　　　 ②

∵ a₁ = 1，a_n∈N^*，∴ d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，

∴ d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，

∴ a_n = 2n－1，．　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 10分

∴ (n≥2)．

当n≥2时，

＜

=＜．

显然，当n = 1时，不等式成立．

故n∈N^*，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 14分

思路2　 或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项开始缩小：

当n≥2时，

．

21．解　 (1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)，

则 ，．

由 ，即 ，得 ．

于是 a² = b² + c² = 21 + 7 = 28，椭圆C的方程为．………………… 5分

(2)若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x = y代入中，得，则点P(，)，Q(，)，于是点O到l的距离为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 7分

若直线l的斜率存在，设l的方程为y = kx + m(k，m∈R)，则点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)的坐标是方程组的两个实数解，

消去y，整理，得(3 + 4k²)x² + 8kmx + 4m²－84 = 0，

∴ △ =(8km)²－4(3 + 4k²)(4m²－84)= 12(28k²－m² + 21)＞0，　　 ①

，．　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

…………………… 9分

∵ OP⊥OQ，∴ k_OP · k_OQ =－1，即 ，x₁x₂ + y₁y₂ = 0．

于是 x₁x₂ +(kx₁ + m)(kx₂ + m)=(1 + k²)x₁x₂ + km(x₁ + x_­2)+ m² = 0．　 ③

将 x₁ + x₂，x₁x₂ 代入上式，得 ，

∴(k² + 1)(4m²－84)－8k²m² + m²(4k² + 3)= 0，

化简，得 m² = 12(k² + 1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

④代入①满足，因此原点O到直线l的距离 ．

…………………… 12分

20．解 (Ⅰ)∵ h (x) = f (x)－g (x) =+ 6x－3 ln x(x＞0)，

∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 2分

∵ 函数h (x) 有两个极值点，∴ 方程，

即ax² + 2x－1 = 0应有两个不同的正数根，于是 　

Þ －1＜a＜0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　…………………… 6分

(Ⅱ)方程 g (x) = x f ′(x)－3(2a + 1)x 即为 －6x + 3 ln x = 3ax²－3(2a + 1)x，

等价于方程 ax² +(1－2a)x－ln x = 0．

设 H(x)= ax² +(1－2a)x－ln x，转化为关于函数H(x)在区间(0，+∞)内的零点问题(即函数H(x)图象与x轴有无交点的问题)．　　 …………………… 8分

∵ H ′(x) = 2ax +(1－2a)－，

且a＞0，x＞0，则当x∈(0，1)时，H ′(x)＜0，H(x)是减函数；

当x∈(1，+∞)时，H ′(x)＞0，H(x)是增函数．　　　　 …………………… 10分

因为 x ® 0(或者x ®+∞)时，H(x)® +∞，

∴ 要使H(x)图象与x轴有无交点，只需

H(x)_min = H(1)= a +(1－2a)= 1－a＞0，结合a＞0得 0＜a＜1，为所求．

…………………… 12分

19．解 (Ⅰ)记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A，

则．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 5分

(Ⅱ)x 的可能值为0，1000，2000．　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 7分

，，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　 　…………………… 10分

x	0	1000	2000
P

所以 ．　　　　　　　　　　 …………………… 12分

答：略．

18．解　 连结BP，由已知得∠APB = 45°．　　　　　　　　　　　　　 …………………… 2分

设P(x，y)，则 ，，由PA到PB的角为45°，

得，化简得 x² +(y－1)² = 2．　　　 …………………… 10分

由已知，y＞0且＞0，故点P的轨迹方程为x² +(y－1)² = 2(x＞－1，y＞0)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 12分

法二　 连结BP，由已知可得∠APB = 45°，∴ 点P在以AB为弦，所对圆周角为45°的圆上．

设该圆的圆心为D，则点D在弦AB的中垂线上，即y轴上，且∠ADB = 90°，∴ D(0，1)，︱DA︱=，圆D的方程为x² +(y－1)² = 2．

由已知，当点C趋近于点B时，点P趋近于点B；当点C趋近于点A时，点P趋近于点(－1，2)，所以点P的轨迹方程为x² +(y－1)² = 2(x＞－1，y＞0)．

17．解 (Ⅰ)∵ ，，，

∴ a－2bsinA = 0，由正弦定理得 sinA－2sinB sinA = 0．　　 …………………… 3分

∵ 0＜A，B，C＜p，∴ ，得 或．　 …………………… 6分

(Ⅱ)∵ △ABC是锐角三角形，∴ ，

，

于是 ==．

…………………… 9分

由 　及 0＜C＜，得 ．

结合0＜A＜，∴ ，得 ，

∴ ，即 ．　　　　　　　　　　　　 …………………… 12分

13．{ x︱0＜x＜3 }　　 14．()或　 　　15．12　　　 16．①④