1．如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是

A．(∁_I A∩B) ∩C　　　　　　　　　 B．(∁_I B∪A)∩C 　 　C．(A∩B)∩∁_I C　　　　　　　　　 D. (A∩∁_I B)∩C

21．已知函数

(1)若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；

(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

(3)求证.

解：(Ⅰ)因为， x >0，则，

　　　　 当时，；当时，.

　　　　 所以在(0，1)上单调递增；在上单调递减，

　　　　 所以函数在处取得极大值.

　　　　 因为函数在区间(其中)上存在极值，

　　　 所以　 解得.

(Ⅱ)不等式即为 记

　 所以

　 令，则，　　　 ，　　

　在上单调递增，　 ，从而，

　故在上也单调递增，　 所以，所以 .

(3)由(2)知：恒成立，即，　

　　 令，则

　所以 ,　 ，　 ，…　 …　

，

　　 叠加得：

　.

则，所以

20．在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段为垂足．

(1)求线段中点M的轨迹C的方程；

(2)过点Q(一2，0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(，0)，且以言为方向向量的直线上一动点，满足 (O为坐标原点)，问是否存在这样的直线l,使得四边形OANB为矩形?若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)设M(x,y)是所求曲线上的任意一点，P()是方程的圆上的任意一点，则.

　　　　 则有：，即，代入得，

　　　　 轨迹C 的方程为

　　 (2)当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

　　　　 所以设直线l的方程为y=k(x+2),与椭圆交于两点，N点所

在直线方程为.

　　　　 由得(4+).

　　　　 由∴.

　　　　 即

，即,∴四边形OANB为平行四边形

假设存在矩形OANB,则,即，

即，

于是有　　 得

设N()，由得，

即点N在直线x＝－上. ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，

直线l的方程为.

19．诺贝尔奖发放方式为：每年一闪，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加。假设基金平均年利率为。资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元。设表示为第年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为，2000年记为，……，依次类推)

　 (1)用表示与，并根据所求结果归纳出函数的表达式；

　 (2)试根据的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由。

(参考数据：)

解：由题意知：

　 (2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为

2009的度诺贝尔奖各项金额为(万美元)

与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻　　　　　　　　　

18．(本小题满分12分)

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC₁和B₁C₁的中点。

　 (1)求点B到平面A₁C₁CA的距离；

　 (2)求二面角B­-A₁D-A的大小；

　 (3)在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A₁BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由.

解：(1)由已知得：CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°

∴BC⊥AC　

∴BC⊥平面A₁C₁CA

∴点B到平面A₁C₁CA的距离为2

(2)如图建立空间直角坐标系

则B(0，2，0)D(0，0，1)A₁(2，0，2)

设平面A₁DB的法向量为

则

…………………………(6分)

而平面ACC₁A₁的法向量为

∴二面角B­-A₁D-A的大小为……………………………………(8分)

(3)存在F为AC的中点，使EF⊥平面A₁BD

设F(x，0，0)，由E(0，1，2)得

若EF⊥平面A₁BD，则

由得x=1

∴F为AC的中点

∴存在F为AC的中点，使EF⊥平面A₁BD………………………………(12分)

17．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，

(1)若甲、乙二人依次各抽一题，计算：

①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？

②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

(2)若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为，求的分布列和期望.

解：解：(Ⅰ)①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为

②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率

(Ⅱ)可取

；　　　　 ；

；　　　 ；

.

所以的分布列为

	0	1	2	3	4
P

。

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

(1)求证：A＝B； (2)求边长c的值； (3)若求△ABC的面积．

解：(1)∵　 ∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB．

由正弦定理得　sinBcosA＝sinAcosB,　 ∴sin(A－B)＝0．

　∵－π＜A－B＜π, ∴A－B＝0，∴A＝B.

(2)∵ ∴bccosA＝1.　 由余弦定理得 ，即b²+c²－a²＝2.

∵由(1)得a＝b，∴c²＝2，∴.

(3)∵＝，∴　 即c²+b²+2＝6,

∴c²+b²＝4.　 ∵c²＝2, ∴b²＝2，即b＝.　 ∴△ABC为正三角形.

∴

15．在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始沿箭头所示的数组成一个锯

齿形的数列1，3，3，4，6，5，10……设数列的前n项为S_n，则

S₁₇=　　　　　　　　 .

14．已知定义在R上的偶函数满足对于x∈R恒成立，且=　　　　　　　 .

13．已知 a>0，定义在 D 上的函数 f(x) 以及函数 g(x) 的值域依次是[-(2a+3)p³, a+6]和　

　　　 a²+, p³，若存在x₁, x₂ÎD，使得| f(x₁)-g(x₂)|<，则a的取值范围为____