20．(本小题满分12分)

已知函数．

　 (1)求在[0，1]上的单调区间；

　 (2)若对任意，不等式，求实数a的取值范围．

22.已知数列是首项为2，公比为的等比数列，是它的前项和.

(1) 用表示；　　　　　　　　　　　

　 (2)是否存在自然数和使得成立.

(3)令，则

∴当

∴当

故在单调递减，

又为偶函数，当时的极小值为

的图象如图所示　　　　　　　　　　　　　　　　　

②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，与联立得：

，

，

代入得：

故不存在自然数，使成立.

2东营市二模

21.设是椭圆上的两点，已知，

，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

　 (2)若直线AB过椭圆的焦点(为半焦距)，求直线AB的斜率的值；

　 (3)试问：的面积是否为定值，如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由.

20.已知函数，

　 (1)求在处的切线方程；

　 (2)若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；

　 (3)求方程的根的个数.

21. 解析：(Ⅰ)由得函数的定义域为，

。　　　　　　　　 ………………………………　 2分

由得；由得，

∴函数的递增区间是；递减区间是。………………………………　 4分

(Ⅱ)由(1)知,在上递减,在上递增。　 ∴　

又∵，，且,

∴时,。　　　　　　 ………………………………　 6分

∵不等式恒成立, ∴，

即

∵是整数，∴。　　　　　　　

∴存在整数，使不等式恒成立。　 ……………………　 9分

(Ⅲ)由得，

令,则，

由得；由得。　

∴在上单调递减,在上单调递增.　　　 ………………………………　 11分

∵方程在上恰有两个相异的实根,

∴函数在和上各有一个零点,　　　　　　

∴，

∴实数的取值范围是　　　 …………………………　 14分

21. (本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时,是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。

(Ⅲ)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围。

20. 解析：(Ⅰ)　 ∵ 　　　　　　　　　①

∴时, 　　　　　②　　　　　　　

　 ①─②得： ……2分

　 由及得　

_∴是首项为，公比为2的等比数列，∴　　　　　　 ………………　 4分

(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　　　　………………　 5分

若为等差数列，

则则成等差数列, 　…………………………… 6分

_∴，∴　　 …………　 8分

当时，，显然成等差数列，

∴存在实数，使得数列成等差数列。　 ………………　 9分

解法二：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　………………　 5分

∴　 ……………　 7分

要使数列成等差数列，则只须，即即可。……………8分

故存在实数，使得数列成等差数列。　　 　　………………　 9分

(Ⅲ)∵　　　 ………………　 10分

∴

　　　　　　　　　　　 …………………………………………　 12分

　　　 ∵， ∴，

∴ …14分

20. (本小题满分14分)设数列的前项和为，且，。

(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。

(Ⅲ)求证：。

19. 解析：(I)由题意得，

∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.………………… 3分

设椭圆方程为 ，

则，

∴点的轨迹方程为 …………………………4分

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为 ………6分

结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则

∴的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

(II))设，由得：

，

化简得，即　　　　　 …………………………10分

　　 而

∵点在圆内，∴

∴，　　 ………………………12分

∴，∴的取值范围为．……………14分

19. (本小题满分14分)已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．

(I)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值。

　 (II)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．