2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.

　　　 (1)当n=1时,由已知得结论成立;

　　　 (2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,

　　　 因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

　　　 又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

　　　 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.----4分

　　　 又由, 得,从而.

　　　 综上可知----6分

　　　 (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

　　　 由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.

　　 因为,所以,即>0,从而----10分

　　　 (Ⅲ) 因为 ,所以, ,

　　　 所以　 ----① , ----12分

　　　 由(Ⅱ)知:,　 所以= ,

　　　 因为, n≥2,

　　 所以 <<=----② .　 ----14分

　　　 由①② 两式可知: .----16分

1．解：(I)

　　　 (1)当时，函数是增函数，此时，，

，所以；--2分

　　　 (2)当时，函数是减函数，此时，，

，所以；----4分

　　　 (3)当时，若，则，有；

　　　 若，则，有；

　　　 因此，，----6分

　　　 而，

　　　 故当时，，有；

　　　 当时，，有；----8分

综上所述：。----10分

　　　 (II)画出的图象，如右图。----12分

　　　 数形结合，可得。----14分

5．已知数列中各项为：

　 (1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

　 (2)求这个数列前n项之和S_n .

解答

4．设上的两点，

满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.

　　 (1)求椭圆的方程；

　　 (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)，(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；

(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

3．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：

(1)(R，a为常数)；

(2)；

(3)当时，≤2

求：(Ⅰ)函数的解析式；(Ⅱ)常数a的取值范围．

2．已知函数,数列满足,

; 数列满足, .求证:

(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)若则当n≥2时,.

1．设函数，

，其中，记函数的最大值与最小值的差为。

(I)求函数的解析式；

(II)画出函数的图象并指出的最小值。

10、解：(1)

而

　 (2)由题设，有

又

得上为奇函数.　 由

得　

于是

故

9、解：(1)由题意知，∴

记

则　 　　　

即

(2)令u=。∵ ∴在(0，+∞)是减函数

而

∴上为增函数，

从而上为减函数。

且上恒有>0 ,只需，

且

8、解：(1)令a=b=0，则f(0)=[f(0)]²∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1

(2)令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴ 又x=0时，f(0)=1>0

∴ 对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0

　∴

　∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函数

(4)f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增

∴ 由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0<x<3