21．(12分)已知、分别是椭圆的左、右焦点。

　　　 (I)若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；

　　　 (II)设过定点M(0，2)的直线与椭圆交于同的两点A、B，且为锐角(其中O伟坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。高☆考♂资♀源?网　　 ☆

20．(12分)已知高☆考♂资♀源?网　　 ☆

　　　 (I)若，求的单调区间和极值；

　　　 (II)已知是的两个不同的极值点，且，若

　　　 恒成立，求实数b的取值范围。

2.　 石室一模

22．(本小题满分14分)

(文科)在数列

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若m为正整数，当

解：(I)由变形得：

故数列是以为首项，1为公差的等差数列　　　　　　 (5分)

　 (II)(法一)由(I)得

(7分)

令

当

又

则为递减数列。

当m=n时，

递减数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

要证：时，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(法二)由(I)得

　　 (7分)

令

上单调递减。(9分)

也即证，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(理科)已知数列中，，当时，其前项和满足，

(1)　　　 求的表达式及的值；

(2)　　　 求数列的通项公式；

(3)　　　 设，求证：当且时，。

解：(1)

所以是等差数列。则。。

(2)当时，，综上，。

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证。

当时，令

，则在递增。

又，所以即。

法(2)

　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　　　 (3)

因

所以

由(1)(3)(4)知。

法3：令，则

所以

因则　　

所以　　 (5)　　 由(1)(2)(5)知

21．(本小题满分12分)

(文科)已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

(Ⅲ)

①　　

②

ⅰ)

ⅱ)　　　

(理科)设函数在上是增函数。

(1)　　　 求正实数的取值范围；

(2)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立　　 又　 为所求。…………5分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数　

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.

(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程；

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，求直线的方程

(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B，C两点(均不与A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

解：(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上， 所以　 ，即. ………….2分

　　 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. 　 ……………….3分

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为　 …6分

(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为，　 ………………8分

　 由　　　 得,……….10分

　易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，

　所以点B的坐标为,

同理可得C点坐标为,　 ……………….11分

所以

,　 　　　　　　　 　　　……………….9分

线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，

所以　 ,由于，　 解得　 .　 …………….10分

此时，点B的坐标为，点C的坐标为，

　直线BC的斜率为，

所以，BC的方程为，即.　 …….12分

1.　　　 鹰潭一模

　　 又MN⊥MQ，所以

　　 直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分

　　 从而得所以

　 代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.………………13分

20．(本题满分13分)

　　　 解：(1)当时，

　　　 函数

　　　 曲线在点处的切线的斜率为

　　　 　1分

　　　 从而曲线在点处的切线方程为

　　　 即

　 (2) 3分

　　　 令，要使在定义域(0，∞)内是增函　　　　　　　　　

　　　 只需在(0，+∞)内恒成立　　 4分

　　　 由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

　　　 ，

　　　 只需时，

　　　 在(0，+∞)内为增函数，正实数的取值范围是　 6分

　 (3)上是减函数，

　　　 时，

　　　 ，

　　　 即　 1分

　　　 ①当时，

　　　 其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

　　　 且，所以内是减函数。

　　　 当时，在

　　　 因为，

　　　 所以

　　　 此时，内是减函数。

　　　 故当时，上单调递减

　　　 ，不合题意；

　　　 ②当时，由

　　　 所以

　　　 又由(2)知当时，上是增函数，

　　　 ，不合题意；　 11分

　　　 ③当时，由(2)知上是增函数，

　　　 又上是减函数，

　　　 故只需

　　　 而

　　　 即

　　　 解得，

　　　 所以实数的取值范围是。　 13分

　　　 注：另有其它解法，请酌情给分。

20．(本题满分13分)

　　　 已知函数

　 (1)若，求曲线处的切线；

　 (2)若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

　 (3)设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。