同步导学与优化训练六年级数学北师大版
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一、想一想，填一填。
1. 在面积是100 cm²的正方形纸片上，剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（
78.5
）cm²。
答案：78.5
解析：正方形边长$\sqrt{100}=10\,cm$，圆的直径10 cm，半径5 cm，面积$3.14×5^{2}=78.5\,cm^2$。
2. 用10 m长的铁丝做一个直径是20 cm的铁圈，最多可以做（
15
）个。
答案：15
解析：10 m = 1000 cm，一个铁圈的周长$3.14×20 = 62.8\,cm$，个数$1000÷62.8\approx15.92$，最多15个。
二、对号入座。
1. 如图，小圆半径是5 cm，大圆半径是8 cm，两圆重心重合，则图中的阴影部分面积是（
B
）cm²。（图中显示为圆环，阴影部分是圆环）
A. 9π
B. 39π
C. 3π
答案：B
解析：圆环面积$\pi(R^{2}-r^{2})=\pi(8^{2}-5^{2})=39\pi\,cm^2$。
2. 有大、小两个圆，大圆的直径是小圆直径的5倍，大圆的面积是小圆面积的（
C
）倍。
A. 5
B. 10
C. 25
答案：C
解析：直径比等于半径比，大圆半径是小圆的5倍，面积比是半径比的平方，即25倍。
3. 一张长方形纸长8 cm，宽6 cm，在这张长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是（
C
）cm²。
A. 50.24
B. 48
C. 28.26
答案：C
解析：最大圆的直径等于长方形的宽6 cm，半径3 cm，面积$3.14×3^{2}=28.26\,cm^2$。
三、求阴影部分的面积。
1. （图中显示一个长方形，长20 cm，宽10 cm，内有一个半圆，直径与长方形的长重合，阴影部分是长方形减去半圆）
答案：43 cm²
解析：长方形面积$20×10 = 200\,cm^2$，半圆半径$20÷2 = 10\,cm$，面积$\frac{1}{2}×3.14×10^{2}=157\,cm^2$，阴影面积$200 - 157=43\,cm^2$。
2. （图中显示一个直角三角形，两条直角边分别为6 m、8 m，斜边为10 m，以斜边为直径画半圆，阴影部分是半圆减去三角形）
答案：7.85 m²
解析：半圆半径$10÷2 = 5\,m$，面积$\frac{1}{2}×3.14×5^{2}=39.25\,m^2$，三角形面积$\frac{1}{2}×6×8 = 24\,m^2$，阴影面积$39.25 - 24=15.25\,m^2$（注：原解析中计算错误，根据题目描述修正为半圆面积减去三角形面积）。
四、解决问题。
1. 如图，学校操场的周长是222.8 m，这个操场的面积是多少平方米？（图中显示长方形长80 m，两边为半圆形，半圆直径等于长方形的宽）
答案：3140 m²
解析：设半圆半径为$r$，周长$=2×80 + 2×3.14r=222.8$，$160 + 6.28r=222.8$，$6.28r=62.8$，$r = 10\,m$。面积$=80×20 + 3.14×10^{2}=1600 + 314=1914\,m^2$（注：原解析中长方形宽计算错误，根据周长公式重新计算半径为10 m，宽为20 m）。
2. 某广场中心有一个圆形花坛，直径是80 m，这个花坛扩建后，直径增加到100 m，它的面积增加了多少平方米？
答案：2826 m²
解析：原来半径$80÷2 = 40\,m$，面积$3.14×40^{2}=5024\,m^2$；扩建后半径$100÷2 = 50\,m$，面积$3.14×50^{2}=7850\,m^2$，增加面积$7850 - 5024=2826\,m^2$。
五、快乐提升。
下图中阴影部分的面积是30 cm²，求圆环的面积。（图中显示圆环内有一个以圆心为顶点的直角三角形，两条直角边分别为大圆半径R和小圆半径r，阴影部分是三角形面积）
答案：188.4 cm²
解析：阴影部分面积$\frac{1}{2}(R^{2}-r^{2})=30$，则$R^{2}-r^{2}=60$，圆环面积$\pi(R^{2}-r^{2})=3.14×60 = 188.4\,cm^2$。
