1． 设集合，，则   ▲   ．

2． 已知复数z满足z²＋1＝0，则（z⁶＋i）（z⁶－i）＝   ▲    ．

3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为   ▲   ．

说明：本题关注一下：

4． 幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是   ▲   ．

5． 下列四个命题：

①；        ②；

③；④．

其中真命题的序号是   ▲   ．

说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R改成Z，真命题的序号是①④，如果R改成复数集C呢？

6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为

＝   ▲  ．

说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识．

7． 以下伪代码：

Read  x

If  x≤ 0  Then 

   ← 4x

Else

   ←

End  If

Print 

根据以上算法，可求得的值为   ▲   ．

8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆六个点．则

＝   ▲   ．

说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长的求法就不一样了，难度会加大．

9． 若对任意实数t，都有．记

，则  ▲  ．

说明：注意对称性．

10．已知函数f（x）＝log_a| x |在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）  ▲  f（a＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）

说明：注意函数y＝f（| x |）是偶函数．比较f（－2）与f（a＋1）的大小只要比较－2、 a＋1与y轴的距离的大小．

11．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，

则直线AB的斜率为   ▲   ．

说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．

12．有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为   ▲   cm．

说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题．

13．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是  ▲  ．

说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．

14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有   ▲  个（用m表示）．

说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c＝m再探究．本题也可以用线性规划知识求解．

填空题答案：

1．   2．2   3．0.03  4．  5．④   6．   7．－8   8．3   9．－1

10．<    11．    12．     13．    14．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

  （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m，n，试求|mn|的最小值．

解：（Ⅰ），……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

从而．……………………………………………………………12分

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

评讲建议：

    本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．

16．（本小题满分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与

平面ACB₁都平行？证明你的结论．

证明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ………………7分

（Ⅱ）存在点P，P为A₁B₁的中点． ……………………………………………………………8分

证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁为平行四边形，从而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：（1）A₁B⊥B₁D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A₁E∥平面ACD₁，并说明理由．

17．（本小题满分15分）

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：

甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，

否则算乙赢．

（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：编号的和为6的概率为．…………………………………………………………………7分

     （Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ……………………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．…………14分

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ………………………………15分

评讲建议：

    本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．）

18．（本小题满分15分）

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、

C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；

（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为

，．………………………………………………………………2分

联立方程组，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

从而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直线AB与⊙P相切，则?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直线AB与⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

评讲建议：

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．

19．（本小题满分16分）

已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．

解：（Ⅰ）因为，

所以． …………………………………………3分

因为h（x）在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分

以下证明．      （※）

（※）等价于． ……………………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，…………………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

从而得到证明．……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明，只要证明>1，令，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略．

20．（本小题满分16分）

已知数列中，，且对时，有．

（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前n项和S_n．

（Ⅰ） 证明：由条件，得，

则．……………………………………2分

即，所以，．

所以是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………4分

，所以．

两边同除以，可得．…………………………………………………6分

于是为以首项，－为公差的等差数列．

所以．………………………………………………8分

（Ⅱ），令，则．

而．

∴． ……………………………………………………………12分

，

∴．………………14分

令T_n＝，                              ①

则2T_n＝．       ②

①－②，得T_n＝，T_n＝．

∴．……………………………………………………………16分

评讲建议：

此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代．

B．附加题部分

1． 选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于，，过A点的切线交CB

的延长线于E点．

求证：．

证明：连结AC．…………………………………………………1分

因为EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．…………3分

因为，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．

于是∠EAB＝∠ACD．…………………………………5分

又四边形ABCD内接于，所以∠ABE＝∠D．

所以∽．

于是，即．………………9分

所以．…………………………………10分

2． 选修4－2：矩阵与变换

如图所示， 四边形ABCD和四边形分别是矩形和平行四边

形，其中点的坐标分别为A（－1，2），B（3，2），C（3，－2），

D（－1，－2），（3，7），（3，3）．求将四边形ABCD变成

四边形的变换矩阵M．

解：该变换为切变变换，设矩阵M为，…………………3分

则．………………………………………………6分

∴，解得．…………………………………………………………………9分

所以，M为．………………………………………………………………………10分

说明：掌握几种常见的平面变换．

3． 选修4－4：坐标系与参数方程

过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．

解：直线的参数方程为，………………………………………………3分

曲线可以化为．……………………………………………5分

将直线的参数方程代入上式，得．

设A、B对应的参数分别为，∴．…………………………8分

AB＝．…………………………………………………10分

说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．

4． 选修4－5：不等式选讲

已知x，y，z均为正数．求证：

证明：因为x，y，z无为正数．所以， ………………………………4分

同理可得，………………………………………………………7分

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．…………10分

5．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．

   （Ⅰ）求n的值；

   （Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

解：（Ⅰ）由题设，得 ， ………………………………………………3分

即，解得n＝8，n＝1（舍去）．……………………………………………4分

（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则……………………………………………6分

即 解得r＝2或r＝3． ………………………………………………8分

所以系数最大的项为，．………………………………………………10分

说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．

6． 动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点Q（0，－1）作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成的区域的面积．

解：（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，得．……………………………3分

化简，得．…………………………………………………………………4分

（Ⅱ）设过Q的直线方程为，代入抛物线方程，整理，得．

∴△＝．解得．………………………………………………………6分

所求切线方程为（也可以用导数求得切线方程），

此时切点的坐标为（2，1），（－2，1），且切点在曲线C上． ………………………8分

由对称性知所求的区域的面积为

．…………………………………………10分

说明：抛物线在附加题中的要求提高了，定积分要求不高．

附加题部分说明：

本次附加题考查内容尽量回避一模所考内容，没有考查概率分布和空间向量解立体几何问题．这两部分内容很重要，希望在后期的复习中不可忽视．