1、（2009广州一模）.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)

如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm².  

80

2、（2009广东三校一模）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的全面积为                            （　　）

A．

B

C．             

D．

C

3、（2009东莞一模）若为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:   ①   ② ∥ ③ ∥ . 其中正确的命题有（    ）

      A.个         B.个       C.个       D.个

C

4、（2009番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（    ）．

    A．12            B．       

   C．            D．6

C

5、（2009汕头一模）在空间中，有如下命题：

  ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

  ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；

  ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；

  ④若平面α内的三点A, B, C到平面β的距离相等，则α∥β．

  其中正确命题的个数为（　　）个。

    A ．0 　　B ．1　　 C ．2　　 D ．3

B

6、（2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右

图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为

A．与       B．与     

C．与      D．与

C

1、（2009广州一模）图4，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A₁A= AB=2.

(1)求证: BC⊥平面A₁AC；

(2)求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值.

证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，

且AB是圆柱底面圆的直径，

∴BC⊥AC,                  ……2分

∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AA₁⊥BC，                ……4分

∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，

ACÌ平面AA₁ C，

                            ∴BC⊥平面AA₁C.           ……6分

(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2) ,                     ……7分

故(0<x<2),

……9分

即. ……11分

∵0<x<2，0<x²<4，∴当x²=2，即时，

三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为.                       ……14分

解法2: 在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=4，                  ……7分

                ……9分

.               ……11分

当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=.

2、（2009广东三校一模）如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；

（Ⅲ）若，当为何值时，．

(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，

所以．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

因为是一个长方体，所以，?????????????????????????? 2分

而，所以，所以．??????????????????????????? 3分

因为垂直于平面内的两条相交直线和，????????????????????????????????? 4分

（）

由线面垂直的判定定理，（不说也可）

可得．

Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．   6分

因为，所以，   7分

所以就是与平面所成的角      8分

因为，，所以．   9分

所以与平面所成的角的正切值为．     10分

 (Ⅲ)解：当时，．          11分

当时，四边形是一个正方形，所以，而，

所以，所以．        12分

而，与在同一个平面内，所以．        13分

而，所以，所以．          14分

3、（2009东莞一模）如图，四边形为矩形，平面，

为上的点，且平面.

(1)求证：；

(2)设点为线段的中点，点为线段的中点．求证：

平面． 

（1）证明：因为，，

所以，…………………………………2分

又，，

所以， ……………………………4分

又，所以……………6分

又，所以．       ………………………8分

（2）取的中点，连接，因为点为线段的中点．

所以||，且， ………………………………10分

又四边形是矩形，点为线段的中点，所以||，且，

所以||，且，故四边形是平行四边形，所以||………………………12分

而平面，平面，所以∥平面．　………14分

4、（2009番禺一模）如图，在棱长均为2的三棱柱中，设侧面四边形的两对角线相交于，

若⊥平面，.

(1) 求证：⊥平面；

(2) 求三棱锥的体积.

（1）证明：∵⊥平面，而AO平面 ∴⊥   ………2分

∵,　∴，而BCFE为菱形，则为中点，

∴⊥,                                            …………4分

且∴⊥平面.                   ……………6分

（2）∥, ∥平面

∴点、到面的距离相等                                     ………8分

                                         ……………9分

∵ ，AO=AO

∴AOE≌AOB，得OE=OB ，即EC=FB，

而BCFE为菱形，则BCFE是正方形，                               ……………10分

计算得AO=，的面积等于正方形BCFE的一半，        ……………12分

因此                                   ……………14分

5、（2009江门一模）如图5，四棱锥，≌，在它的俯视图中，，，

．

⑴求证：是直角三角形；

⑵求四棱锥的体积．

⑴由已知，点在底面上的投影是点，所以--------2分

因为、，所以，---------------------3分

因为≌，所以，-------4分

因为，所以平面-------5分

所以，是直角三角形----------6分

⑵连接，因为，，所以是等边三角形-------7分

在中，根据多边形内角和定理计算得--------8分，又因为，所以-------------9分，所以，，所以----------11分，又----------12分，所以，四棱锥的体积-----------14分

6、（2009茂名一模）如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）

（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求三棱锥C-DEF的体积。

解：

（1）判断：AB//平面DEF………………………………………………..2分

证明：

因在中，E，F分别是

AC，BC的中点，有

EF//AB………………..5分

又因

AB平面DEF，

EF平面DEF…………..6分

所以

AB//平面DEF……………..7分

（2）过点E作EMDC于点M，

面ACD面BCD，面ACD面BCD＝CD，而EM面ACD

故EM平面BCD  于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分

又CDF的面积为

EM＝……………………………………………………………………11分

故三棱锥C-DEF的体积为

7、（2009汕头一模）如图，己知∆BCD中，∠BCD = 90⁰，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB二60⁰，E、F分别是AC、AD上的动点，且

    （1）求证：不论为何值，总有EF⊥平面ABC：

    （2）若＝，求三棱锥A－BEF的体积．

（1）证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD = 90⁰，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，

所以，CD⊥平面ABC，………………………………………………3分

又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且

所以，不论为何值，总有EF⊥平面ABC：…………………………6分

（2）解：在△BCD中，∠BCD = 90⁰，BC＝CD＝1，所以，BD＝,

又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，

由（1）知EF⊥平面ABE，

所以，三棱锥A－BCD的体积是………………………………………………14分

8、（2009深圳一模）图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设的中点为，求证：平面；

(Ⅲ) 设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求．

（Ⅰ）证明： 平面平面,,

平面平面=，

平面，                              

平面， ,………　2分

又为圆的直径，，                    ……………………　4分

平面。                                    ……………………　5分

（Ⅱ）设的中点为，则，又，

则，为平行四边形，                  ……………………　8分   

，又平面，平面，

平面。                                   ……………………　10分

(Ⅲ)过点作于，平面平面，

平面，，   ……………………　12分 

平面，

，…………………　13分 

．                            ……………………　14分 

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