分析：把限制为象限角时，只考虑且的情形，遗漏了界限角。应补充：当时，；当时，，或。

例3． 若，求的取值范围。

错解  移项得，两边平方得

即

分析：忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了。

正解：即，由得

       ∴

例4． 设、为锐角，且+，讨论函数的最值。

错解

可见，当时，；当时，。

分析：由已知得，∴，则

∴当，即时，，最大值不存在。

五、             忽视应用均值不等式的条件

例5． 求函数的最小值。

错解 

∴当时，

分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。

正解：

当且仅当，即，时，

专题四：三角函数

【经典题例】

例1：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（    ）

（A）  （B）  （C）  （D）

[思路分析] 记，由三角函数定义可知Q点的坐标满足，故选（A）

[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。

例2：求函数的最小正周期、最大值和最小值.

[思路分析]

所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。

例3：已知，

的值.

[思路分析] ∵

∴得    又

于是 

[简要评述] 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。

例4：已知b、c是实数，函数f(x)=对任意α、βR有：

且

（1）求f（1）的值；（2）证明：c；（3）设的最大值为10，求f（x）。

[思路分析]（1）令α=，得令β=，得因此；

（2）证明：由已知，当时，当时，通过数形结合的方法可得：化简得c；

（3）由上述可知，[-1，1]是的减区间，那么又联立方程组可得,所以

[简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。

例5：关于正弦曲线回答下述问题：

（1）函数的单调递增区间是；

（2）若函数的图象关于直线对称，则的值是 1        ；

（3）把函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是  ；

（4）若函数的最大值是，最小值是，最小正周期是，图象经过点（0，-），则函数的解析式子是；

[思路分析] 略

[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。

例6：函数

（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。

[思路分析] （1）{x|x

(2)设t=sinx+cosx,  则y=t-1     

[简要评述]若关于与的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令，使问题得到简化。

例7：在ΔABC中，已知（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围。

[思路分析]（1）条件等式降次化简得

（2）

∴……，得B的取值范围

[简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。

例8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？

[思路分析] CD=,  C=,转化为考虑y=的最小值，可得当时，y最小，即C最小。

[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。

【热身冲刺】

1．若，则满足 =0.5的角 的个数是（C）

    （A）2            （B）3              （C）   4        （D）5

2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（B ）

    （A）向右平移个单位长度       （B）向右平移个单位长度

    （C）向左平移个单位长度       （D）向左平移个单位长度

3．已知函数，则下面三个命题中：（1）；（2）；（3）；其中正确的命题共有（ B ）

    （A） 0个      （B）   1个     （C）2个       （D）3个

4．若是奇函数，且当>0时，，则当时，为( C )

（A）    （B）  （C）||   （D）||

5．函数是奇函数，则等于（ D）

（A）  （B）  （C） （D）

6．如果圆至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（   B   ）

（A）    （B）     （C）    （D）

7．若∈[]，则y＝ 

的最大值是（ C  ）

（A）    （B）  （C）       （D）

8．．函数在区间[上的最小值为-，则的取值为（ C  ）

（A）[ （B）[0，  （C）[  （D）

9．若△ABC面积S=则∠C=（ C）

 （A）          （B）           （C）         （D）

10．已知向量则与的夹角为（ A ）

   （A）  （B）   （C）    （D）

11．若是以5为周期的奇函数，=4,且cos，则 = -4   .

12．函数=lg(sincos)的增区间是

13．用表示不超过实数的最大整数。

则=  -81            。

14．设，且，则的取值范围是 ；

15．（文）求函数的定义域。

答案：

（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何，都有）=，设M=[arcsin(sin4)]，N=[arcos(cos4)]，讨论M和N的大小。

答案： M>N     

16．在锐角三角形ABC中，

（Ⅰ）求证；       （Ⅱ）设=3，求边上的高.

略解（Ⅰ）证明：

所以

（Ⅱ）解：，

         即  ，将代入上式并整理后解得

，舍去负值，∴  

 设边上的高为.由AB=AD+DB=得CD=2+.

17．已知，，其中，

(1)  求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最大值、最小值。

答案：；

18．在锐角ΔABC中，已知A<B<C,且B=，又，求证：

略证：由已知得，……进一步可求出……，得，

∴

19．（1）已知，证明不存在实数能使等式cos+msin=m(*)成立；

（2）试扩大的取值范围，使对于实数，等式(*)能成立；

（3）在扩大后的取值范围内，若取,求出使等式(*)成立的值。

提示：（1）可化为（2）（3）

20．设函数= ?，其中向量=(2cos，1)，=(cos，sin2)，∈R.

(1)若且∈[－，]，求；

（2）若函数y=2sin2的图象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=的图象，求实数m、n的值.

略解：（Ⅰ）依题设，=2cos²+sin2=1+2sin(2+).

由，得，∵∴.

（Ⅱ）函数=2sin2的图象按向量=(m，n)平移后得到函数的图象，即函数y=的图象.

由（Ⅰ）得 =2sin2(+)+1.    ∵|m|<，∴m=，n=1.