1．若，且，则________________。

2．已知全集，集合，，

那么集合__________。

3．满足方程的实数解x为________________。

4．在数列中，，且，_________。

5．已知实数，直线过点，且垂直于向量，若直线与圆相交，则实数的取值范围是________________。

6．已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若

，则球的体积为________________。

7．是无穷数列，已知是二项式的展开式各项系数的和，记，则_______________。

8．在中，，的面积为，则_______________。

9．已知集合，，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素的模为的概率为______________。

10．某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：

①等式对恒成立；          

②若，则一定有；

③若，方程有两个不等实数根；

④函数在上有三个零点。

其中正确结论的序号有________________。（请将你认为正确的结论的序号都填上）

11．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱

锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”。

（1）直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”。

仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：                                      。

（2）直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”。

仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：                                      。

每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确的结论的代号写在题后的圆括号内，选对得４分，否则一律得零分。

12．已知、为实数，则是的（    ）

 　　（A）充分非必要条件                  （B）必要非充分条件   

 （C）充要条件                        （D）既不充分也不必要条件

13．已知点，直线，点B是l上的动点， 过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（　　）                                                              

         （A）抛物线     （B）椭圆     （C）双曲线的一支     （D）直线

14．已知正三棱柱的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面与侧面交于(如右图)，且．若平面与底面所成二面角的大小为 ，四边形面积为y ，则函数的图象大致是（    ）

15．已知，，若为满足的整数，则是直角三角

形的整数的个数为（    ）

（A）2个          （B）3个        （C）4个         （D）7个

解答下列各题必须写出必要的步骤。

16．（本题满分12分，题（1）、（2）各6分）

已知函数.

（1）求的最小正周期，并求的最小值；

（2）若，且，求的值。

17．（本题满分14分）

随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140＜2a＜420，且a为偶数，每人每年可创利10万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，若裁员人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

18．（本题满分14分，题（1）6分，题（2）8分）

已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是

（1）求双曲线的方程；

 （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

19．（本题满分16分，题（1）4分，题（2）6分，题（3）6分）

对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。

① 对任意的，总有；

② 当时，总有成立。

已知函数与是定义在上的函数。

（1）试问函数是否为函数？并说明理由；

（2）若函数是函数，求实数组成的集合；

（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。

20．（本题满分18分，题（1）4分，题（2）6分，题（3）8分）

已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。

（1）证明:数列是等差数列；

（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；

（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。

（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

2009年上海市八校联合考试

数学试卷（理科答案）

（考试时间120分钟，满分150分）

１．；2．；３．；4． 2550 ；５．；６．；7． ；

８．；9．；１０．①②；１１．(1) 直角三棱锥中，三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；(2) 直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．

1６．（本题满分1２分）

解：（1）

                   =.   　　　　　　　　　　　　　　４分

      因此的最小正周期为,最小值为. 　　　　　　　　　　　 ６分

    (2)　由得=2，即，

      而由，得　.  　　　　　　　　　　９分

      故，      解得. 　　　　　　　　　　　　　 1２分

17.（本题满分14分）

解：，设裁员x （）人，可获得的经济效益为y万元，则

     　　　　　　　　　　　　　　　　　　５分

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………6分

当取到最大值；　　　　……………9分

当取到最大值；……………………12分

答：当 时，公司应裁员人，经济效益取到最大值

当，公司应裁员50人， 经济效益取到最大值………………………1４分

18．(本题满分14分)

解：（1）∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

原点到直线AB：的距离，　　４分

  故所求双曲线方程为 　　　　　　　　6分

（2）把中消去y，整理得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

设，则

因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ，　　　10分

可得     把代入，

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

解，得，满足，14分

１９．（本题满分１６分）

解：（1） 当时，总有，满足①，　　　　　　　1分

当时，

，满足②4分

（2）若时，不满足①，所以不是函数；　　　　　５分

若时，，在上是增函数，，

满足①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６分

由 ，得，

即，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７分

因为

所以     与不同时等于1  

　　　　　　　　　８分

当时，  　　，　　　　　９分

 综合上述：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1０分

（3）根据（２）知：　a=1，方程为，  　　　　　　１１分

令  方程为　　　　　　　　　　　　　１２分

                                                                13分

由图形可知：

当时，有一解；

当 时，有二不同解；

当时，方程无解。　　　　　　　　　　　　16分

20.(本题满分１８分)

解: (1)依题意有,于是.

所以数列是等差数列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由题意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　６分

由都是等差数列.

，那么得    ,

.    (      ８分

故                           　　 1０分

(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数

 提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数

解：问题①   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以   　　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

当为奇数时,有,即        ①

， 当, 不合题意.15分

当为偶数时,有 ，,同理可求得 

当时,不合题意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分

综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或.                                    　　　　　　　 1８分

解：问题②   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分

当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以   　　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：.                  　　　　　　　　　　　　１３分

当为奇数时,有,即        ①

， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分

当为偶数时,有 ，,同理可求得  .

；；当时，不合题意．1７分

综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为

；；　；1８分