1、利用平面直角坐标系，可以把平面图形与坐标建立对应关系，如图：

2、回忆以前学习的直线与圆、圆锥曲线等说明

二、建构数学

1、曲线与方程概念

一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.。此时表示为曲线C:f(x,y)=0

2、点在曲线上的充要条件：

如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P₀（x₀,y₀）在曲线C上的充要条件是f (x₀,y₀)=0

三、数学运用

例1 判断点是否在圆上。

解：把点的坐标代入方程，可以发现，点的坐标是方程的解，点在圆上，而不满足方程，不在圆上。

变式：已知P₁（x₁,y₁）是直线l：f（x,y）=0上一点，P₂（x₂,y₂）是直线l外一点

所表示的直线与l的关系是           （平行）

例2 已知一座圆拱桥的跨度是36m，圆拱为6m，以圆拱所对的弦AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，求圆拱的方程。

解：设圆心，圆拱上任一点P(x,y)，满足，即

即

因为点在圆上，所以

  解得

所以圆拱的方程是

练习1、方程(x²-4)²+(y²-4)²=0表示的图形是______________（四个点）

练习2、教材P55-----1~5

例3 、方程x²-y²+2x+4y+k=0能否表示两条直线的方程，若可以，求出两直线方程，若不行说明理由。

解：[方法一]要表示直线，必须能够写成两个一次方程的乘积，于是设为

(x-ay+b)(x-cy+d)=0,即x²-(c+a)x+acy²+(b+d)x-(da+bc)y+bd=0，而左边为x²-y²+2x+4y+k；于是，解出方程为(x-y+3)(x+y-1)=0于是直线方程为x-y+3=0,x+y-1=0

    [方法二]将原方程整理成关于x的一元二次方程x²+2x-y²+4y+k=0,其解为x=要表示直线，△₁=4(y²-4y-k+1)是完全平方式，于是y²-4y-k+1=0有两个相等实数解，△₂=16-4(1-k)=0,k=-3。此时△₁=4(y-2)²,x=-1±(y-2),于是将原式分解因式得(x-y+3)(x+y-1)=0于是直线方程为x-y+3=0,x+y-1=0

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。表示曲线C:f(x,y)=0

2、如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P₀（x₀,y₀）在曲线C上的充要条件是f (x₀,y₀)=0

3、说一个点的轨迹是指的图形，一般要使之惟一化

五、布置作业：教材P56----1~4

[补充习题]

1、在直角坐标系中，方程(x+y-1)(-y)=0所表示的曲线形状是__________

2、满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，则下列命题正确的是___________________

A,曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0  B,不在曲线C上的点的坐标必不适合方程F(x,y)=0

C,凡是不适合方程F(x,y)=0的点都不在C上  D,曲线C是满足条件F(x,y)=0的点的轨迹

3、已知两点M(1,),N(-4, ),给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0;②x²-y²=0;③+y²=1;④-y²=1,其中在曲线上存在点P，使MP=NP的曲线方程有_________________

4、(1)求方程4x²-y²+6x-3y=0表示的曲线轨迹

(2)方程(x-y)²+(xy-1)²=0的表示的图形是什么？

[答案]

1、一条线段和半个圆

2、B

3、①②④

4、(1)表示两条直线2x-y=0和2x+y+3=0;(2)两个点(1,1)和（-1，-1）

[教后感想与作业情况]

2.6.2求曲线的方程

[教学目标]

[教学重点]求曲线方程的一般步骤

[教学难点]求曲线的方程。

教学过程：

一、复习回顾：

师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.

引例:长为（是正常数）的线段AB的两端点分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹。

解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系如图

因为是直角三角形，M是AB的中点，所以

即

两边平方得   (*)

这样，曲线上任意一点的坐标都是方程*的解，

反之，满足方程解的任意一点，必定满足，从而OM=a=AB,M为AB的中点，即M在曲线上

从而，方程就是点M的轨迹方程

思考：求曲线（图形）的方程，一般有哪几个步骤组成？

（1）建立适当的坐标系（常坚持坐标值多出现0和多出现对称的原则展开进行坐标系，术语：以…为x轴，以…为y轴（或原点），建立直角坐标系）

（2）设（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标，并写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；

（3）用坐标代入条件P（M），列出方程f(x,y)=0;

（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

思考2：这些步骤能否简化？关键是什么？

一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，一般需要再第三步处加条件限制，使之每步等价，这一条件一直延伸到最后，所以其步骤可以简化为“建――设――限――代――化”

思考3：这一过程的关键思想是什么？

借助坐标系研究几何问题，将这种方法称坐标法，数学中可以用坐标法研究几何问题，反过来，方程也可以通过坐标法来体现，这种以坐标法为核心的思想称解析几何思想，平面解析几何研究的主要问题是：（1）代数问题反应几何性质；（2）几何性质用代数坐标加以体现

课本57页练习1，2

三、数学运用

例1、求平面内到两个定点A,B得距离之比等于2得动点M的轨迹方程。

解：以A,B所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，令，则A,B两点的坐标分别为。

设M点坐标为，依题意，点M满足

化简整理得。

所以动点M的轨迹方程为

   例2、△AOB中，∠AOB=,AB在直线l:x=3上移动，求三角形AOB外心的轨迹方程

解：设M(x,y),过M作MH⊥AB于H,则∠AMB=,M满足的条件集合为{M|MH=MA=MO,M在三角形AOB内}，3-x=(x<3),即3(x-4)²-y²=12(x≤2)

     例3、正方形ABCD中，AB、BC各边上有一个动点Q、R，且BQ=CR，求AQ与DQ交点P的轨迹方程

解：以A为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，设P(x,y),AQ=t,则DQ:,AR:y=,点(x,y)在第一象限,消去t得：x²+y²-ay=0(x≥0,y≥0)即为点P的轨迹方程

说明：如果有必要，可以先设一个变量，将x,y与此变量的关系写出，再消去此变量，得到x,y满足的方程

五、作业：教材P58----1~4

[补充习题]

1、抛物线y=x²-2cosθ.x+1(θ∈R)的顶点轨迹方程为____________

2、已知三角形ABC的面积为3，且两个顶点为A(0,2),B(3,6),则顶点C的轨迹方程为________

3、与y轴相切，且和曲线x²+y²=4(0≤x≤2)相内切的动圆圆心的轨迹方程是_________

4、三角形ABP中，A(-1,0),B(2,0),且∠PBA=2∠PAB，求动点P的轨迹方程

[答案]

1、y=1-x²(-1≤x≤1)

2、4x-3y=0或4x-3y+12=0

3、y²=-4(x-1)(0<x<1)

4、x²-=1(x>1)

[教后感想与作业情况]

                        2.6.3求曲线的交点（1）

[教学目标]

[教学重点、难点]求两曲线交点坐标

[教学过程]

P(x₀,y₀)是C₁与C₂的交点

所以，求两曲线的交点就是求方程组的实数解

练习：教材P60-----练习题

例1、已知探照灯的轴截面是抛物线y²=x，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点，试确定Q点的坐标

解：由已知，抛物线的焦点F(,0),直线PF的方程为y=-(x-),解混合组得Q(,)

说明：注意有条件限制时的方程组的解出现增根的情况

例2、在长、宽分别为10m,18m的矩形地块内，欲开凿一花边水池，池边由两个椭圆组成，试确定两个椭圆的四个交点的位置。

解：以矩形的中心为原点，平行于10的一边为x轴建立直角坐标系，如图，易求出两个椭圆的方程为，，解二者联立的方程组，得x²=5,y²=,从而得到两个椭圆的交点为四个(,),(,-),(-,),(-,-)

说明：遇到二元二次方程，必要时可以先解x²,y²,再解x,y

例3、当a变化时，直线l₁:(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0与直线l₂:m²x+2y+n=0都过一定点，问点(m,n)在什么曲线上？（教材P64---14）

解：l₁:a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0表示过2x+y+1=0与x+y-1=0的交点(-2,3),此点又在l₂:上，从而-2m²+6+n=0,故(m,n)在此抛物线上

说明:一般的af₁(x,y)+bf₂(x,y)=0(a,b不全为0)过f₁(x,y)=0与f₂(x,y)=0的交点；一般的，a≠0时，设=λ，于是，曲线f₁(x,y)+λf₂(x,y)=0过f₁(x,y)=0与f₂(x,y)=0的交点。

例4、已知△ABC中，A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在y=3x²-1上移动，求三角形ABC重心G的轨迹方程

解：设G(x,y),C(x₁,y₁),于是，y₁=3x₁²-1从而y=9x²+12x+3.又点C不在直线AB:x+y+2=0上，从而(3x+2)+(3y+2)+2≠0即x+y+2≠0，而x+y+2=0与y=9x²+12x+3联立无交点   ∴重心G的轨迹方程为y=9x²+12x+3

说明：注意检验，去掉不满足条件的点

[补充习题]

1、点P在曲线y=x²上移动，Q(0,-1)，则 PQ中点M的轨迹方程是_____________

2、过点(2,1)引直线和x轴、y轴分别交于B、C两点，则BC中点的轨迹方程为_______

3、曲线x²+(y-1)²=4与直线y=k(x-2)+4公共点个数为两个、一个、零个时，分别求k的范围

4、点A(a,b)（a>0,b>0）是一个定点,B、C分别是x轴、y轴上的点，∠BAC=90⁰,A、O位于BC的两侧，求BC中点P的轨迹方程

[答案]

1、y=2x²-

2、2xy-x-2y=0

3、k>,k=,k<

4、2ax+2by=a²+b²(0≤x≤)

[教后感想与作业情况]

2.6.3求曲线的交点（2）

[教学目标]

[教学难点、重点]求含有参数的范围

[教学过程]

例1、求直线y=x+被曲线y=x²截得的线段长

解：求出两交点坐标为(3,)、(-1,),线段长为4

 练习：当k为何值时，曲线xy+(k-5)x+2=0和直线x-y-k=0的交点在第一象限？

例2、过点P(0,4)且与抛物线y²=16x只有一个公共点的直线有几条，求出此直线方程

解：斜率不存在时，直线为x=0,满足条件；斜率存在时，设直线方程为y=kx+4,将抛物线方程x=代入得到y=+4即ky²-16y+64=0,△=(-16)²-4k×64=0,k=1,方程为x-y+4=0∴这样的直线存在两条，分别为x=0和x-y+4=0

说明：必要时要考虑图形，数形结合来考虑实际问题；注意交点个数需要消去谁。

变式：在什么情况下，直线与抛物线有公共点？

例3、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，其方程是x²=2y(0≤y≤20)。在杯中放一个玻璃球，要使球接触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r应满足什么条件？（教材P61―8）

解：设圆的方程为x²+(y-r)²=r²(r>0),与抛物线联立解得y₁=0,y₂=2(r-1)依题意r-1≤0，∴0<r≤1

补充习题

1、曲线y=|x|+1与y=|x²-1|交点的个数为__________

2、直线y=x+b与曲线y=有两个公共点，则b的范围是__________

3、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的范围是___________

4、点M在直线l:x+y+1=0上，在直线OM上取点P，使OP=2OM,求动点P的轨迹

5、射线OA,OB的方程分别为y=x,y=-x,(x≥0)点C、D分别在OA、OB上滑动，且CD=4，求线段CD的中点P的轨迹方程

[答案]1、3；   2、；  3、m≥1且m≠5；   4、x+y±2=0；  5、,x≥

[教后感想与作业情况]