7、(2006吉林长春)某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元。该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元。

(1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？

(2)设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式。

(3)当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买1000个零碎件时，利润又是多少？(利润 = 售价－成本)

[解析]

(1)设当一次购买x个零件时，销售单价为51元，则

(x－100)×0.02 = 60－51，

解得 x = 550。

答：当一次购买550个零件时，销售单价为51元。　　

(2)当0＜x≤100时，　　 y = 60；

当100＜x≤550时，　 y = 62－0.02x；

当x＞550时，　　　　 y = 51。　　　　　　　　　　　　

(3)当x = 500时，利润为

(62－0.02×500)×500－40×500 = 6000(元)。

当x = 1000时，利润为1000×(51－40)= 11000(元)。

答：当一次购买500个零件时，该厂获得利润为6000元；当一次购买1000个零件时，该厂获得利润11000元。　　　　　　　　　　　　 　

6、(2006山东烟台)如图，已知抛物线L₁: y=x²-4的图像与x有交于A、C两点

(1)若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；

(2)若点B是抛物线l₁上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；

(3)探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

[解析] (1)设l₂的解析式为y=a(x-h)²+k

∵l₂与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l₁与l₂关于x轴对称，

∴l₂过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，4)

∴y=ax²+4

　∴0=4a+4　 得 a=-1

∴l₂的解析式为y=-x²+4

(2)设B(x₁ ,y₁)

　　 ∵点B在l₁上

　　 ∴B(x₁ ,x₁²-4)

　　 ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

　　 ∴B、D关于O对称

　　 ∴D(-x₁ ,-x₁²+4).

　　 将D(-x₁ ,-x₁²+4)的坐标代入l₂：y=-x²+4

　　　　　 ∴左边=右边

　　　　　 ∴点D在l₂上.

(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

　　 S=2*S_△ABC =AC*|y₁|=4|y₁|

　　 a.当点B在x轴上方时，y₁＞0

　　　 ∴S=4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，

　　　 ∴S既无最大值也无最小值

　　 b.当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0

　　　 ∴S=-4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，

　　　 ∴当y₁ =-4时，S由最大值16，但他没有最小值

　　　 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.

　　　 ∴AC⊥BD

　　　 ∴平行四边形ABCD是菱形

　　　 此时S_最大=16.

5、如图14，抛物线E：交x轴于A、B两点，

交y轴于M点。抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于

C、D两点。

⑴求F的解析式；

⑵在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C

N、M为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点N坐标；

若不存在，请说明理由；

⑶若将抛物线E的解析式改为，试探索问题⑵。

[解析] 当y=0时，，解得x₁=－3，x₂=－1，

∴A、B点坐标分别为(－3，0)、(－1，0)

当x＝0时，y＝3，∴M点坐标为(0，3)，A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，∴D、C坐标为(3，0)、(1，0)

设F的解析式为

∴a＝1，b＝－4

∴F的解析式为

(2)存在。假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为3。

若在抛物线F上，当y=3时，，则x₁=0，x₂=4

∴N点坐标为(4，3)，∴MN=4，

由(1)可求AC=4，∴MN=AC，∴四边形ACNM为平行四边形。

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(4，3)或(－4，3)

(3) 存在。假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为c。设y＝0，∴

∴，

∴A点坐标为(，0)，B点坐标为(，0)

∴C点坐标为(，0)，∴AC=

在抛物线E上，当y=c时，，x₁=0，x₂=

∴N点坐标为(，0)

NM=0－()=，∴NM=AC，∴四边形ACMN为平行四边形。

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(，c)或(，c)。

4、(2006浙江嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位：百米)．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．

(1)设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上(见图)．

①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米)；

②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，(米)．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度．

[解析] (1)∵是山坡线AB上任意一点，

∴，，　　　　　　　　　　

∴，　　　　　

∵，∴＝4，∴　　　　　　　

(2)在山坡线AB上，，

①令，得 ；令，得

∴第一级台阶的长度为(百米)(厘米)　　

同理，令、，可得、

∴第二级台阶的长度为(百米)(厘米)　　

第三级台阶的长度为(百米)(厘米)　　

②取点，又取，则

∵

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚　　

(注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性)

②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图

∵这种台阶的长度不小于它的高度

∴

当其中有一级台阶的长大于它的高时，

在题设图中，作于H

则，又第一级台阶的长大于它的高

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚　　　　

(3)

、、、

由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值

索道在BC上方时，悬空高度

当时，

∴索道的最大悬空高度为米．　　　　　　　

3、(2006北京海淀)已知抛物线的部分图象如图1所示。

图1　　　　　　　　　　　　　　 图2

　　 (1)求c的取值范围；

　　 (2)若抛物线经过点(0，-1)，试确定抛物线的解析式；

　　 (3)若反比例函数的图象经过(2)中抛物线上点(1，a)，试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及(2)中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小。

[解析] (1)根据图象可知

　　 且抛物线与x轴有两个交点

　　 所以一元二次方程有两个不等的实数根。

　　 所以，且

　　 所以

　　 (2)因为抛物线经过点(0，-1)

　　 把代入

　　 得

　　 故所求抛物线的解析式为

　　 (3)因为反比例函数的图象经过抛物线上的点(1，a)

　　 把代入，得

　　 把代入，得

　　 所以

　　 画出的图象如图所示。

　　 观察图象，除交点(1，-2)外，还有两个交点大致为和

　　 把和分别代入和可知，

　　 和是的两个交点

　　 根据图象可知：当或或时，

　　　　　　　　 　 当时，

　　　　　　　　 　 当时，

2、(2006黑龙江鸡西)某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象．根据图象回答下列问题：

　　 (1)求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)；

　　 (2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?

　　 (3)加工完这批工件，机器耗油多少升?

[解析] (1)设所求函数关系式为y=kx+b．

　　 由图象可知过(10，100)，(30，80)两点，

　　 得

　　 解得

∴ y=-x+llO　

　 (2)当y=10时，-x+110=10，x=100

机器运行100分钟时，第一个加工过程停止

　 (3)第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟

　　 加工完这批工件，机器耗油166升

1、(2006重庆)已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B().

(1)　 求这个抛物线的解析式；

(2)　 设(1)中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(注：抛物线的顶点坐标为)

(3)　 P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.

[解析] (1)解方程得

由，有

所以点A、B的坐标分别为A(1，0),B(0，5).

将A(1，0),B(0，5)的坐标分别代入.

得解这个方程组，得

所以，抛物线的解析式为

(2)由，令，得

解这个方程，得

所以C点的坐标为(-5，0).由顶点坐标公式计算，得点D(-2，9).

过D作轴的垂线交轴于M.

则

，

所以，.

(3)设P点的坐标为()

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为.

那么，PH与直线BC的交点坐标为，

PH与抛物线的交点坐标为.

由题意，得①，即

解这个方程，得或(舍去)

②，即

解这个方程，得或(舍去)

P点的坐标为或.

33．已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．

(1)求一次函数与二次函数的解析式；

(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

(3)把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

解：(1)把代入得，

一次函数的解析式为；

二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，

设二次函数解析式为，

把代入得，

二次函数解析式为．　

　 　(2)由

解得或，

，

过点分别作直线的垂线，垂足为，

则，

直角梯形的中位线长为，

过作垂直于直线于点，则，，

，

的长等于中点到直线的距离的2倍，

以为直径的圆与直线相切．

(3)平移后二次函数解析式为，

令，得，，，

过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，

要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，

此时，半径为2，面积为，

设圆心为中点为，连，则，

在三角形中，，

，而，，

当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．

32.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B().

(1)　 求这个抛物线的解析式；

(2)　 设(1)中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(注：抛物线的顶点坐标为()

(3)　 P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.

解：(1)解方程得

由，有

所以点A、B的坐标分别为A(1，0),B(0，5).

将A(1，0),B(0，5)的坐标分别代入.

得解这个方程组，得

所以，抛物线的解析式为

(2)由，令，得

解这个方程，得

所以C点的坐标为(-5，0).由顶点坐标公式计算，得点D(-2，9).

过D作轴的垂线交轴于M.

则

，

所以，.

(3)设P点的坐标为()

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为.

那么，PH与直线BC的交点坐标为，

PH与抛物线的交点坐标为.

由题意，得①，即

解这个方程，得或(舍去)

②，即

解这个方程，得或(舍去)

P点的坐标为或.

31．如图1，已知直线与抛物线交于两点．

(1)求两点的坐标；

(2)求线段的垂直平分线的解析式；

(3)如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

解：(1)解：依题意得解之得

(2)作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于(如图1)

　　 由(1)可知：

　　 过作轴，为垂足

　　 由，得：，

　　 同理：

　　 设的解析式为

　　 的垂直平分线的解析式为：．

(3)若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点(如图2)．

　　 抛物线与直线只有一个交点，

　　 ，

　　 在直线中，

　　 设到的距离为，

　　 到的距离等于到的距离．