17．(青岛市2008)

实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：

在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

(1)我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：(如图①)；

(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在(1)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：(如图②)

(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在(2)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：(如图③)：

(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在(9)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球

同色，即最少需摸出小球的个数是：(如图⑩)

　

模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球：

(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是　　　　　 ；

(2)若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是　　　　 ；

(3)若要确保摸出的小球至少有个同色()，则最少需摸出小球的个数是　　　　 ．

模型拓展二：在不透明口袋中装有种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球：

(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是　　　　　 ．

(2)若要确保摸出的小球至少有个同色()，则最少需摸出小球的个数是　　　 ．

问题解决：(1)请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；

(2)根据(1)中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．

16．(湖北省十堰市2008 )

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．

⑴求证：MN是⊙O的切线；

⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

解：⑴证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，

∴　　

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°．

∴

∴　

∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOC＝90°．∴MN是⊙O的切线．

⑵连接OF，则OF⊥BC．

由⑴知，△BOC是Rt△，∴　　

∵

∴6×8＝10×OF．∴0F＝4.8．

即⊙O的半径为4.8cm．

由⑴知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，

∴△NMC∽△BOC．　　

∴

∴MN＝9.6(cm)．

说明：不带单位不扣分．

14．(沈阳市2008)小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．

(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？

(2)如果用分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用，，分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图(树形图)法加以说明．

解：(1)

(2)树状图(树形图)：

或列表

由树状图(树形图)或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．

．

15(山东省2008)　

如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．

(1)求B，D之间的距离；

,BO=2×cos60°=1．

　在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，

　∴ CD=DO－CO=(km)．

　即C，D之间的距离为km．

13．(浙江省2008)四川5.12特大地震受灾地区急需大量赈灾帐篷，某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入、提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶，已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同．现在该企业每天能生产多少顶帐篷？

解：设现在该企业每天能生产顶帐篷，

则原计划每天生产()顶帐篷．

由题意，得．

解得．

　　 经检验：是原方程的解．

∴原方程的解是．

答：现在该企业每天能生产顶帐篷．

12．(四川省达州市2008)含角的直角三角板()绕直角顶点沿逆时针方向旋转角()，再沿的对边翻折得到，与交于点，与交于点，与相交于点．

(1)求证：．

(2)当时，找出与的数量关系，并加以说明．

(1)　证明：∵∠A=∠A′　AC＝A′C　∠ACM＝∠A′CN＝90⁰－∠MCN

∴

(2)在Rt△ABC中

∵，∴∠A＝90⁰－30⁰＝60⁰

　　又∵，∴∠MCN＝30⁰，

∴∠ACM＝90⁰－∠MCN＝60⁰

∴∠EMB′＝∠AMC＝∠A＝∠MCA＝60⁰

　　∵∠B′＝∠B＝30⁰

所以三角形MEB′是Rt△MEB′且∠B′＝30⁰

所以MB′＝2ME

11．(深圳市2008)某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图6和

图7所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：

　

(1)哪一种品牌粽子的销售量最大？

(2)补全图6中的条形统计图．

(3)写出A品牌粽子在图7中所对应的圆心角的度数．

(4)根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？

请你提一条合理化的建议．

解: (1)C品牌．(不带单位不扣分)　　　　　　　　

　　　　 (2)略．(B品牌的销售量是800个，柱状图上没有标数字不扣分)　

　　　　 (3)60°．(不带单位不扣分) 　　　　　　　　

　　　　　　　 (4)略．(合理的解释都给分)　　　　　　　　　

10．(青海省西宁市2008)计算：．

解：原式　 3分

9．(哈尔滨市2008)观察下列图形：

　它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有　　 60　　 个★．

7. (荆州市2008)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，　 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为___2______㎝.(精确到个位，参考数据：)

8(常州市2008)已知函数的部分图象如图所示,则c=______,当x______时,y随x的增大而减小.

6．(2008年南通市) 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个

小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小

正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图

的概率是　 　　　　．