1．(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

(Ⅰ)求这三条曲线的方程；

(Ⅱ)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

9．(本小题满分14分)

已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有(为大于1的常数)，记．

(1) 求；

(2) 试比较与的大小()；

(3) 求证：，()．

解：(1) ∵，　　　　　　　 ①

∴．　　　　　　　　 ②

②－①，得

，

即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

在①中令，可得．

∴是首项为，公比为的等比数列，．　　　　　　　　 (4分)

(2) 由(1)可得．

．

∴，　　　　　　　　　　 (5分)

．

而，且，

∴，．

∴，()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

(3) 由(2)知 ，，()．

∴当时，．

∴

，　　　　　　　　　　　 (10分)

(当且仅当时取等号)．

另一方面，当，时，

．

∵，∴．

∴，(当且仅当时取等号)．(13分)

∴．(当且仅当时取等号)．

综上所述，，()．(14分)

8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．

(1) 求双曲线的方程；

(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 设双曲线的方程为，

则．

由，得，即．

∴　　　　　　　　　　　　 (3分)

解之得，∴．

∴双曲线的方程为．　　　　　 (5分)

(2) 设在轴上存在定点，使．

设直线的方程为，．

由，得．

即　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　 (6分)

∵，

，

∴．

即．　 ②　　　　　 (8分)

把①代入②，得

　　 ③　　　　　 (9分)

把代入并整理得

其中且，即且．

　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

代入③，得，

化简得 ．当时，上式恒成立．

因此，在轴上存在定点，使．　　　　　　　　　　　 (12分)

7．(本小题满分14分)

设函数在上是增函数.

(3)　　　 求正实数的取值范围；

(4)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立

又　　　　 为所求.…………………………4分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………14分

　　 又MN⊥MQ，所以

　　 直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分

　　 从而得所以

　 代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.………………13分

6．(本小题满分12分)

过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，

(1)求点P的轨迹方程；

(2)已知点F(0，1)，是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

解法(一)：(1)设

由得：

………………………………3分

直线PA的方程是：即　　 ①　

同理，直线PB的方程是：　　　　　　　　　 ②

由①②得：

∴点P的轨迹方程是……………………………………6分

(2)由(1)得：

　…………………………10分

　　 所以

故存在=1使得…………………………………………12分

解法(二)：(1)∵直线PA、PB与抛物线相切，且

∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且

设PA的直线方程是

由得：

即…………………………3分

即直线PA的方程是：

同理可得直线PB的方程是：

由得：

故点P的轨迹方程是……………………………………6分

(2)由(1)得：

………………………………10分

故存在=1使得…………………………………………12分

7．(本小题满分14分)

　　 已知函数

　　　 (Ⅰ)若

　　　 (Ⅱ)若

　　　 (Ⅲ)若的大小关系(不必写出比较过程).

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)设，

……6分

(Ⅲ)在题设条件下，当k为偶数时

当k为奇数时……14分

6．(本小题满分12分)

垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A₁、A₂分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A₁M与A₂N交于点P(x₀，y₀)

(Ⅰ)证明：

(Ⅱ)过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

解(Ⅰ)证明：

　　①

直线A₂N的方程为　　 ②……4分

①×②，得

(Ⅱ)

……10分

当……12分

5．(本小题满分14分)

(理)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(文)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(理)解：设公差为，则．　3分

　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　13分

当数列首项，公差时，，

∴的最大值为．　　　　　　　　14分

(文)解：设公差为，则．　　3分

，　　　　　　6分

又．

∴．

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，．

∴的最大值为．　　　　　　　　　14分

4．(本小题满分12分)

设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．

解：(1)设点其中．

由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　6分

(2)满足条件的圆心为，

，　　　　　　　8分

圆半径．　　　　　　　　　10分

由圆与直线：相切得，，

又．∴椭圆方程为．　　　　12分

3. (本小题满分14分)

　　 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.

　　 (I)求此双曲线的渐近线的方程；

　　 (II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：(I)

　　 ，渐近线方程为　　　　　　　 4分

　 　(II)设，AB的中点

　　 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)

　　 (III)假设存在满足条件的直线

　　 设

　　 由(i)(ii)得　 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线.　　　　　　　　　　 14分