2．设α、β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，那么α∥β的一个充分条件是(　 )

　　　 A．l α，m α，且l∥β，m∥β　　 B．l α，m β，且l∥m

　　　 C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m

1．下列命题中错误的是　　　　　　　　　 (　 )

　　　 A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线

　　　 B．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直

　　　 C．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面

　　　 D．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直

例1、⑴已知水平平面 内的两条相交直线a, b所成的角为 ，如果将角 的平分线 绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的 处，且与两条直线a,b都成角 ，则 与 的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.　 或　　　　　 　　　　B.　 > 或　 <　

C.　 >　　　　　　　　　　　　 D.　 <

⑵已知异面直线a,b所成的角为70 ,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60 角的直线有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )条.

A. 1　　　　 B. 2　　　　 C. 3　　　　　 D. 4

⑶异面直线a,b所成的角为 ,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60 ,则 的取值可能是　　　　　 (　 ).

A. 30　　　 B. 50　　　 C. 60　　　　 D. 90

⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有　　　 条棱，　　 个面；②如果它是棱柱，那么它有　　　 条棱　　　 个面.

分析与解答:

⑴ 如图1所示,易知直线 上点A在平面 上的射影是ι上的点B,过点B作BC⊥b,

则AC⊥b.　 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg = ,tg = .显然，AC>BC,

∴tan > tan ,又 、　 (0， ，∴　 ＞ .故选C.　　　　　　　　

⑵如图2所示，过空间一点O分别作 ∥a, ∥b,　　 ι

则所求直线即为过点O且与 都成60 角的直线。　　　　　　　　　　　　

∵ =110 ，∴ ∴将两对对顶角的平分线绕　　　　　图1

O点分别在竖直平面内转动，总能得到与　 都成　　　　　　　　　　　 　　　 　

60 角的直线。故 过点 O与a,b都成60 角的直线有4条，

70.从而选　 D.　　　　 　　　　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　

⑶过点O分别作 ∥a, ∥b,则过点O有三条直线与

a,b所成角都为60 ，等价于过点O有三条直线与　　　　　　　　　 图2

　所成角都为60 ，如图3示，如果 或　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

则 或 ，过 O点只有两条直线与　　　　　　　　　 O　　　

都成60 角。如果 =90 ，则 ，那么过点 O有四　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　

条直线与 所成角都为60 。如果 =60 ，则 ，　　　　　 图 3

此时过点 O有三条直线与 所成角都为60 。其中一条

正是 角的平分线.

⑷①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面.

说明： 本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题

例2、如图1，设ABC-A B C 是直三棱柱，F是A B 的中点，且

(1)求证：AF⊥A C；　 (2)求二面角C-AF-B的大小．

分析：先来看第1问，我们"倒过来"分析．如果已经证得AF⊥A C，则注意到因为AB=2AA =2a，ABC-A B C 是直三棱柱，从而若设E是AB的中点，就有A E⊥AF，即AF⊥平面A CE．那么，如果我们能够先证明AF⊥平面A CE，则就可以证得AF⊥A C，而这由CE⊥平面AA B B立得．

再来看第2问．为计算二面角C-AF-B的大小，我们需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AA B B，而AF⊥A E，所以，若设G是AF与A E的中点，则∠CGE即为二面角C-AF-B的平面角，再计算△CGE各边的长度即可求出所求二面角的大小．

解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA ．由ABC-A B C 是直三棱柱，知AA ⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA ，

∵AB=2AA =2a，∴AA =a，AA ⊥AE，知AA FE是正方形，从而AF⊥A E．而A E是A C在平面AA FE上的射影，故AF⊥A C；

(2)设G是AB 与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AA B B，AF⊥A E，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AA FE是正方形，AA =a，

∴ ，　 ∴ ，

∴tan∠CGE= ，∠CGE＝ ，从而二面角C-AF-B的大小为 。

说明：假设欲证之结论成立，"倒着"分析的方法是非常有效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路．《直线、平面、简单几何体》关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法．但需要注意的是，证明的过程必须是"正方向"的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成"循环论证"的逻辑错误．

例3、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面 、 之间，AB与 成45o角，与 成 角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．

　　　　　　 以CD为轴，将平　　　　　　　　 以AB为轴，将平　

　　　　　　 面BCD旋转至与　　　　　　　　　 面ABD旋转至与

　　　　　　 平面ACD共面　　　　　　　　　　 平面ABC共面

图 1　　　　　　　　　　 　　图 2　　　　　　　　　　 图 3　　　　　

解法1、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．

为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝ ，BF＝ ＝ ．在移出图3中，

∵　 cosB＝ ＝ ,

在△BDF中，由余弦定理：

DF 2＝BD 2+BF 2－2BD Z BF Z cosB

　 ＝( )2+( )2 －2Z　 Z　 Z　 ＝ ．

(注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴　 AB⊥平面DEF，∴　 AB⊥DF．

又∵　 AC⊥平面 ，　∴　AC⊥DF．　 ∴　DF⊥平面ABC，　 ∴　 DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC Z DF＝CD Z BD可直接求得DF的长．)

在△DEF中，由余弦定理：

cos∠DEF＝ ＝ ＝ .

∴　 ∠DEF＝arccos .此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．

解法2、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：

　CD 2＝DE 2+CH 2+EH 2－2DE Z CH Z cos　　　　　　　　 (*)

(注：这里的 是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜　 o≤90o，　 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜　 ＜180o，异面直线所成的角为180o－　 .)

∵　 CD＝DE＝1，CH＝ ，HE＝ ，

从而算得　 cos ＝ ，　 ∴　 ＝arccos .

说明：(1)解空间图形的计算问题，首先要解决定位问题(其中最基本的是确定点在直线、点在平面上的射影)，其次才是定量问题．画空间图形的"平面移出图"是解决定位难的有效方法，必须熟练掌握．

(2) 解法2具有普遍意义，特别是公式(*)，常可达到简化运算的目的．

例4、如图1，直三棱柱ABC－A B C 的各条棱长都相等，

D为棱BC上的一点，在截面ADC 中，若∠ADC ＝ ，

求二面角D－AC1－C的大小．

解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形，　　　　　　　　　　 图 7

∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，

∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC，　　　　　　　　　　 图1

∴ D为BC的中点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

过C作CE⊥C1D于E，∵　 平面ADC1⊥侧面BC1，

∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1．

连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)

∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．

在Rt△EFC中，sin∠EFC＝ .　 ∵ BC＝CC1＝a

易求得　 CE＝ ，CF＝ .

∴ sin∠EFC＝ ， ∴　 ∠EFC＝arcsin .

∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin .

例5、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

　 (1)求证：MN⊥AB；

　 (2)设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN是异

面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.

解：(1)∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是

以PC为斜边的直角三角形， ，又M为AB的中点，

∴MN⊥AB.

(2)∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.

设AB=a，PA=b，AD=d，则 ，

　 设PM=CM则由N为PC的中点，

∴MN⊥PC由(1)可知MN⊥AB，∴MN为

PC与AB的公垂线，这时PA=AD，∴θ=45°。

例6、 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

　　　 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥

的体积；

　　　 (2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面

角恒大于90°

解:(1)正方形ABCD是四棱锥P-ABCD的底面, 其面积

为 从而只要算出四棱锥的高就行了.

　面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，　　 ∴PA⊥DA，

　　 ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

　　　 ∠PAB=60°.　　　　　　　　

　　　 而PB是四棱锥P-ABCD的高，PB=AB·tan60°= a,

　　　 .　

(2)不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

　　　 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

　　　 　 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

　　　　　 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

　　　 在

　　 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.　　

　　 说明：本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

例7、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE= ，D为AB的中点.

(1)求证：AB1⊥平面CED；

(2)求异面直线AB1与CD之间的距离；

(3)求二面角B1-AC-B的平面角.

解:(1)∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，

∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA　 ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，

　∴AB1⊥平面CDE；

(2)由CD⊥平面A1B1BA　 ∴CD⊥DE

∵AB1⊥平面CDE　 ∴DE⊥AB1,

∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段

∵CE= ，AC=1 , ∴CD= ∴ ；

(3)连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B1CB是二面角B1-AC-B的平面角.

在Rt△CEA中，CE= ，BC=AC=1,∴∠B1AC=600

∴ ，　 ∴ ,

∴　 , ∴ .

说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例8、 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，D为BC的中点.

(1)判断AD与SB能否垂直，并说明理由；

(2)若三棱锥 的体积为 ，且 为　 钝角，求二面角 的平面角的正切值；

(3)在(Ⅱ)的条件下，求点A到平面SBC的距离.

　 解：(1)因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；

(2)设 ，则　

解得　 ，所以 (舍)， .

　平面ABC，AB=AC，D为BC的中点

　 ，

则 是二面角S-BC-A的平面角.

在 中， ,

故二面角的正切值为4；

(3)由(2)知， 平面SDA，所以平面SBC 平面SDA，过点A作AE SD，则AE 平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,

从而 即A到平面SBC的距离为 .

例9、如图a-l- 是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在 内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在 内， ABC是等腰直角三角形∠ACB=

(I)　　　 求三棱锥D-ABC的体积；

(2)求二面角D-AC-B的大小；　　　

(3)求异面直线AB、CD所成的角.

　 解:　 (1) 过D向平面 做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

　为二面角a-l- 的平面角.　 .

　是等腰直角三角形，斜边AB=2. 又D到平面 的距离DO=

(2)过O在 内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO　 为二面角D-AC-B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且　

　 (3)在 平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.　 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,

　异面直线AB,CD所成的角为arctan

例10、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。

类比性质叙述如下 ：

解：立体几何中相应地性质：

⑴从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离

之比为定值。

⑵从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面

的距离之比为定值。

⑶在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离

之比为定值。

⑷在空间，射线 上任意一点 到射线 、 、 的距离之比不变。

⑸在空间，射线 上任意一点 到平面 、 、 的

距离之比不变。

说明：(2)--(5)还可以有其他的答案。

例11、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)

为p的抛物线.

(1)求圆锥的母线与底面所成的角；

(2)求圆锥的全面积．

　　 解: (1)设圆锥的底面半径为R，母线长为l，

由题意得： ,

即 ,

所以母线和底面所成的角为

(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与

AC的交点，则OO1//AB且

在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为(R，－R)，代入方程得

R2=－2p(－R)，得R=2p，l=2R=4p.

∴圆锥的全面积为 .

说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题:

　　 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母　　　

线长为1，则该几何体的体积等于　　　　　 ．

例12、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D= ，在线段SA上取一点E(不含端点)使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。

(1)求证：四边形EFCD为直角梯形；

(2)求二面角B-EF-C的平面角的正切值；

(3)设SB的中点为M，当 的值是多少时，能使△DMC

为直角三角形？请给出证明.

解：(1)∵　CD∥AB，AB 平面SAB ∴CD∥平面SAB

面EFCD∩面SAB=EF，

∴CD∥EF ∵

又 面　

∴　 平面SAD，∴ 又　

　为直角梯形　

(2) 平面 ∥ 平面SAD

　即为二面角D-EF-C的平面角　

　中

而 且

　为等腰三角形， 　　　

(3)当 时， 为直角三角形 .

　 ,

　平面 平面 .

在 中， 为SB中点， .

　平面 平面　 为直角三角形。

例13、如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.

(1)求证：FD∥平面ABC；

(2)求证：AF⊥BD；

　(3) 求二面角B-FC-G的正切值.

解: ∵F、G分别为EB、AB的中点，

∴FG= EA，又EA、DC都垂直于面ABC,　 FG=DC，

　　 ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC 面ABC，

　　 ∴FD∥面ABC.

(2)∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB　 ①　 又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD　 ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD 面EBD，∴AF⊥BD.

　　　 (3)由(1)、(2)知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.

易求 .

例14、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，

P、Q分别是线段AD1和BD上的点，

且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

　(1) 求证PQ∥平面CDD C ；

(2) 求证PQ⊥AD；

　　 (3) 求线段PQ的长.

解：(1)在平面AD 内，作PP ∥AD与DD 交于点P ，在平面AC内，作

QQ1∥BC交CD于点Q ，连结P Q .

　　 ∵　 ,　　 ∴PP1 QQ　 .

由四边形PQQ P 为平行四边形,　 知PQ∥P Q ，而P Q　 平面CDD C ，

　所以PQ∥平面CDD C

(2) AD⊥平面D DCC ，　　 ∴AD⊥P Q ，又∵PQ∥P Q ，　 ∴AD⊥PQ.

(3)由(1)知P Q　 PQ,

　，而棱长CD=1.　　 ∴DQ = .　 同理可求得 P D= .

在Rt△P DQ 中，应用勾股定理, 立得P Q =

　.

做为本题的深化, 我们提出这样的问题： P, Q分别是BD,　 上的动点,试求 的最小值, 请应用函数方法计算， 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 可以得到一些启示。

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=　

(1)　　 求MN的长；

(2)　　 当 为何值时，MN的长最小；

(3)　　 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角 的大小。

立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.

例16、在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

　　　　　　　　　　　　 图①　　　　　　　　　　　　 图②

　 解:　 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为 ,

　　　　　　　　 .

　　 当且仅当　 .

故当容器的高为 时，容器的容积最大，其最大容积为

用导数的方法，三次函数的最值问题用导数求解最方便，不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关. 类似的问题是：

某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省(即容器的表面积最小).

7．有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用"体积法"来求。

6．三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常"线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角"而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos = 来求。

5．在明确"两个平行平面的公垂线"、"两个平行平面的公垂线段"、"两个平行平面的距离"的概念后，应该注意到，两平行平面间的公垂线段有无数条，但其长度都相等--是唯一确定的值，且两平行平面间的公垂线段，是夹在两平行平面间的所有线段中最短的线段，此外还须注意到，两平行平面间的距离可能化为"其中一个平面内的直线到另一个平面的距离"又可转化为"其中一个面内的一个点到另一个平面的距离。

4．空间两个平面的位置关系有且只有"两平面平行"和"两平面相交"两种关系。

3．注意两个平行平面的画法--直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即将"平面 平行于平面 "，记为" ∥ "。

2．　 与"直线与直线平行"、"直线与平面平行"的概念一样"平面与平面平行"是

指"二平面没有公共点"。由此可知，空间两个几何元素(点、直线、平面称为空间三个几何元素)间"没有公共点"时，它们间的关系均称为"互相平行"。要善于运用平面与平面平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。

1．　 须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。