20．(本题满分16分)

设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换，

(1)判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；

，；

，；

(2)设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；

(3)设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件(不必证明)，并举例说明条件的不必要性．

解：(1)：函数的值域为，，，

所以，不是的一个等值域变换；　　　 …………2分

：，即的值域为，

当时，，即的值域仍为，

所以，是的一个等值域变换；　　　　　　　 …………5分

(2)的值域为，由知，

即定义域为，　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，

所以，的值域为，　　　　　　 …………8分

，

所以，

恒有，且存在使两个等号分别成立，………10分

于是，

解得 或…………13分

(3)设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，则是的一个等值域变换的充分非必要条件是“=”． …………15分

条件的不必要性的一个例子是．

，，

，，

此时，但的值域仍为，

即是的一个等值域变换。…………18分

(反例不唯一)

教研室内部备用题选编

19．(1)由已知，，得

由数列是等差数列，得

所以，，，得．…………………5分

(2)由，可得

且当时，

所以，当时，

，…………………4分

因此，数列是一个公比为的等比数列．…………………………………………1分

(3)解答一：写出必要条件，如，由(1)知，当时，数列是等差数列，

所以是数列为等比数列的必要条件． ………………………………3分

解答二：写出充分条件，如或等，并证明 ……………… 5分

解答三：是等比数列的充要条件是……………………2分

充分性证明：

若，则由已知，得

所以，是等比数列．……………………………………………………………2分

必要性证明：若是等比数列，由(2)知，

，

． …………………………………………1分

当时，．

上式对也成立，所以，数列的通项公式为：

．

所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以，．……………………………………………………………………1分

当时，．　

上式对也成立，所以，

……………………1分

所以，．　 …………………………………………1分

即，等式对于任意实数均成立．

所以，．……………………………………………………………1分

19．(本题满分16分)．

已知定义在上的函数和数列满足下列条件：

　　 ，，当且时，且．

其中、均为非零常数．

(1)若数列是等差数列，求的值；

(2)令，若，求数列的通项公式；

(3)试研究数列为等比数列的条件，并证明你的结论．

说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。

18．(本题满分16分)本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即；9点20分作为第二个计算人数的时间，即 ；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.

对第个时刻进入园区的人数和时间()满足以下关系(如图1)：

，

()满足以下关系(如图2)：

(1)试计算在当天下午3点整(即15点整)

时，世博园区内共有多少游客？

(2)请求出当天世博园区内游客总人数最多

的时刻.

解：(1)当且时，，

当且时，……………………………………………2分

所以…

××

；……………………………………………………2分

另一方面，已经离开的游客总人数是：

×；……………2分

所以(人)

故当天下午3点整(即15点整)时，世博园区内共有位游客. …………2分

(2)当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.

(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；……………………2分

(ii)当时，令，得出，

即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………2分

当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；…………………………………………………………………………………2分

(iii)当时，　 令时，，

即在下午点整时，园区人数达到最多.

此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………2分

17．(本题满分14分)

已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．

(1)若，试求点的坐标；

(2)若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；

(3)求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

解：(1)设，由题可知，所以，解之得：

故所求点的坐标为或．　　…………………………………………4分

(2)设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，　　…………………………………………6分

解得，或，

故所求直线的方程为：或．………………………8分

(3)设，的中点，因为是圆的切线

所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，

故其方程为：……………………………10分

化简得：，此式是关于的恒等式，

故解得或

所以经过三点的圆必过定点或.…………………………………14分

16、证明：(1)∵

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(2)令中点为，中点为，连结、

　　 ∵是的中位线

∴　　　　　 ……6分　　

又∵

∴

∴　　 ……8分

　　 ∴

　　 ∵为正

∴　　　　 ……10分

∴

　　 又∵，

　∴四边形为平行四边形　　 ……12分

∴

∴　　 ……14分

16、(本题满分14分)

多面体中，，，，。

(1)求证：；

(2)求证：。

15.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

已知向量，且. 设.

(1)求的表达式，并求函数在上图像最低点的坐标.

(2)若对任意，恒成立，求实数的范围.

解：(1)，即，………………………………………………2分

消去，得，　　　

即，……………………………2分

时， ，，……………2分

即的最小值为，此时

所以函数的图像上最低点的坐标是………………………2分

(2), 即，　　

当时,　函数单调递增，单调递增，

所以在上单调递增，………………………………………2分

所以的最小值为1, …………………………………2分

为要恒成立，只要，所以为所求.………2分

14．我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有

不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数(简

称上凸). 类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：

成立，则称数列为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列满足如下两个条件：

(1)数列为上凸数列，且；

(2)对正整数()，都有，其中.

则数列中的第五项的取值范围为 　　　　.

13． 已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，且，则四边形的面积等于　　 　5 　　.