4．(本小题满分10分)

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为． 若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用.

(1)求①号面需要更换的概率；

(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；

(3)写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.

3．(本小题满分10分)

已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点．

(1)求实数a的值；　　

(2)求矩阵的特征值及其对应的特征向量.

2．(本小题满分10分)

设矩阵是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵．

(1)求逆矩阵；

(2)求椭圆在矩阵作用下变换得到的新曲线的方程．

(总分40分，加试时间30分钟)

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效．

1．(本小题满分10分)

已知二项式的展开式中各项系数的和为256．

(1)求；　　　

　(2)求展开式中的常数项．

20. (本题满分16分)

已知函数，数列满足：．

(1)若对于，均有成立，求实数的值；

(2)若对于，均有成立，求实数的取值范围；

(3)请你构造一个无穷数列使其满足下列两个条件，并加以证明：

①，；

②当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1．

　　　　　　　　　　 　扬州市调研数学试卷 第4页 (共4页)

扬州市2009-2010学年度第一学期期中调研测试试题

19．(本题满分16分)

已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若关于的不等式对一切(其中)都成立，求实数的取值范围；

(3)某同学发现：总存在正实数、，使．试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请写出的取值范围(不需要解答过程)．

18．(本题满分15分)

设等差数列的前项和为，，，设数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和；

(3)设，求.

　　　　　　　　　　　 扬州市调研数学试卷 第3页 (共4页)

17. (本题满分15分)

已知集合，

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

16．(本题满分14分)

如图，在直三棱柱中，，、

分别为、的中点.

(1)求证：；

(2)求证：.

　　　　　　　　　　 　扬州市调研数学试卷 第2页 (共4页)

15．(本题满分14分)(建议出三角函数部分题目，分为两小问，难度系数0.8)

已知向量，.

(1)若与方向相反，求的值；

(2)若，，求的值.