7.在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求.

解：设所在圆圆心为O,则C、D、O都在AB的中垂线上,

∴∠AOD=∠BOD=.设OA=r.

S_△ABC=S_{四边形AOBC}－S_△AOB=r²sin－r²sinx=r²sin(1－cos),

S_△ABD=S_{四边形AOBD}－S_△AOB=r²tan－r²sinx=r².

∴===.

6.设函数f (x)=ax²+bx+c是一个偶函数,且f (x)=0,f (x)=－3,求出这一函数最大值.

解:∵f (x)=ax²+bx+c是一偶函数,

∴f (－x)=f (x),

即ax²+bx+c=ax²－bx+c.

∴b=0.∴f (x)=ax²+c.

又f (x)= ax²+c=a+c=0, f(x)=ax²+c=4a+c=－3,

∴a=－1,c=1.

∴f (x)=－x²+1.

∴f (x)_max=f(0)=1.

∴f (x)的最大值为1.

培养能力

5.已知函数f (x)=，试求:

(1)f (x)的定义域，并画出图象；

(2)求f (x)、f (x),并指出f (x)是否存在.

解:(1)当|x|＞2时，

==－1;

当|x|＜2时，==1;

当x=2时，=0;

当x=－2时，不存在.

∴f (x)=

∴f (x)的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}.

如下图:

(2)∵f (x)=－1,f (x)=1.∴f (x)不存在.

4.若f (x)=在点x=0处连续，则f (0)=__________________.

解析:∵f(x)在点x=0处连续，

∴f (0)=f (x),

f (x)=

　= =.

答案:

3.已知函数y=f (x)在点x=x₀处存在极限,且f (x)=a²－2,f (x)=2a+1,则函数y=f (x)在点x=x₀处的极限是____________.

解析:∵y=f(x)在x=x₀处存在极限,

∴f(x)=f(x),即a²－2=2a+1.∴a=－1或a=3.

∴f (x)=2a+1=－1或7.

答案:－1或7

2.(2004年全国Ⅱ，理2)等于

A.　　　　　　　 B.1　　　　 　　　C.　　　　　　　　 D.

解析:∵=.

答案:A

1.已知函数f (x)是偶函数,且f (x)=a,则下列结论一定正确的是

A. f　 (x)=－a　　　　　　 　　　B. f (x)=a

C. f　 (x)=|a|　　　　　　　　 　　D. f(x)=|a|

解析：∵f (x)是偶函数,∴f (－x)=f(x).

又f (x)=a,

f(－x)=a,f (x)=f (－x),

∴f(－x)= f (x)=a.

答案：B

5.若=2,则a=__________.

解析: =2,

∴=2.∴a=4.

答案:4

●典例剖析

[例1]求下列各极限：

(1) (；

(2)(－x)；

(3) ；

(4)

剖析:若f (x)在x₀处连续，则应有f (x)=f (x₀),故求f (x)在连续点x₀处的极限时，只需求f (x₀)即可；若f (x)在x₀处不连续，可通过变形，消去x－x₀因式，转化成可直接求f(x₀)的式子.

解:(1)原式＝＝=－.

(2)原式==a+b.

(3)因为=1,而==－1，

≠,

所以不存在．

(4)原式=＝(cos+sin)＝.

思考讨论

　数列极限与函数极限的区别与联系是什么？

[例2] (1)设f(x)=;

(2)f (x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式.

解:(1) f (x)= 　(2x+b)=b,f(x)= 　(1+2^x)=2,

当且仅当b=2时, f (x)= f (x),

故b=2时,原极限存在.

(2)由于f(x)是多项式,且=1,

∴可设f (x)=4x³+x²+ax+b(a、b为待定系数).

又∵=5,

即(4x²+x+a+)=5,

∴a=5,b=0,即f (x)=4x³+x²+5x.

评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.

(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.

[例3] 讨论函数f (x)= ·x (0≤x＜+∞)的连续性，并作出函数图象.

部析:应先求出f (x)的解析式，再判断连续性.

解:当0≤x＜1时，f (x)= x=x;

当x＞1时，f (x)= ·x=·x=－x;

当x=1时，f (x)=0.

∴f (x)=[i]

∵f(x)=(－x)=－1,f(x)= x=1,

∴f(x)不存在.

∴f (x)在x=1处不连续，f (x)在定义域内的其余点都连续.

图象如下图所示.

评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.

●闯关训练

夯实基础

4.(2005年西城区抽样测试) =________________.

解析: ===3.

答案:3

3.函数f(x)在x₀处连续是f(x)在点x₀处有极限的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A