2.f(x)=下列结论正确的是

A.=f(x)

B.=2，不存在

C.f (x)=0, 不存在

D.f (x)≠f (x)

答案:D

1.f(x)=f(x)=a是f(x)在x₀处存在极限的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:C

2.极限的四则运算法则：

如果f (x)=a, g(x)=b,那么

[f(x)±g(x)]=a±b; [f(x)·g(x)]=a·b; =(b≠0).

特别提示

(1)上述法则对x→∞的情况仍成立；

(2)[Cf(x)]=Cf(x)(C为常数);

(3)[f(x)]ⁿ=[f(x)]ⁿ(n∈N *).

●点击双基

1.函数极限的概念：(1)如果f(x)=a且f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→∞时，f(x)→a.

(2)一般地，当自变量x无限趋近于常数x₀(但x不等于x₀)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x₀时，函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→x₀时，f(x)→a.

(3)一般地，如果当x从点x=x₀左侧(即x＜x₀)无限趋近于x₀时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x₀处的左极限，记作f (x)=a.如果从点x=x₀右侧(即x＞x₀)无限趋近于x₀时，函数f (x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f (x)在点x₀处的右极限，记作f(x)=a.

13.3　 函数的极限

●知识梳理

2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.

拓展题例

[例题] 已知等比数列{a_n}的首项为a₁,公比为q,且有(－qⁿ)=,求首项a₁的取值范围.

解: 　(－qⁿ)=,

∴qⁿ一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.

当q=1时，－1=,∴a₁=3.

当0＜|q|＜1时，由(－qⁿ)=得=,∴2a₁－1=q.

∴0＜|2a₁－1|＜1.∴0＜a₁＜1且a₁≠.

综上,得0＜a₁＜1且a₁≠或a₁=3.

1.数列极限的几种类型：∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.

2.熟练掌握如下几个常用极限：

(1) C=C(C为常数);

(2) ()^p=0(p＞0);

(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);

(4) qⁿ=0(|q|＜1).

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教学点睛

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：

(1)各数列的极限必须存在；

(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算.

9.已知数列{a_n}满足a₁=0,a₂=1,a_n=,求a_n.

解:由a_n=,得

2a_n+a_n－1=2a_n－1+a_n－2,∴{2a_n+a_n－1}是常数列.

∵2a₂+a₁=2,∴2a_n+a_n－1=2.

∴a_n－=－(a_n－1－).

∴{a_n－}是公比为－,首项为－的等比数列.

∴a_n－=－×(－)^n－1.

∴a_n=－×(－)^n－1.

∴a_n=.

●思悟小结