3.(2004年全国Ⅰ，5)(2x³－)⁷的展开式中常数项是

A.14　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－14　　　　　　　　　　　　 C.42　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－42

解析：设(2x³－)⁷的展开式中的第r+1项是T=C(2x³)(－)^r=C2·

(－1)^r·x，

当－+3(7－r)=0，即r=6时，它为常数项，∴C(－1)⁶·2¹=14.

答案：A

2.(2004年江苏，7)(2x+)⁴的展开式中x³的系数是

A.6　　　　　　　　　　　　　　　 B.12　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.24　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.48

解析：(2x+)⁴=x²(1+2)⁴，在(1+2)⁴中，x的系数为C·2²=24.

答案：C

1.已知(1－3x)⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹，则｜a₀｜+｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a₉｜等于

A.2⁹　　　 　　　　　　　　　 B.4⁹ 　　　　　　　　　　　 C.3⁹　　　 　　　　　　　　　 D.1

解析：x的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a₀｜+｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a₉｜=a₀－a₁+a₂－a₃+…－a₉.

∴已知条件中只需赋值x=－1即可.

答案：B

3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.

●点击双基

2.二项展开式的性质是解题的关键.

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.

10.5　 二项式定理

●知识梳理

3.关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧

(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化.

拓展题例

[例1] (1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?

(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?

解：(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法.

所以，共有A(C+C)=60(种).

下面再看另一种构造方法：

先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A·C=60.

(2)可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A=480.

[例2] 已知1<m<n，m，n∈N^*，求证：(1+m)ⁿ>(1+n)^m.

证法一：由二项式定理(1+m)ⁿ=Cm⁰+Cm¹+…+Cmⁿ，

(1+n)^m=Cn⁰+Cn¹+…+C，

又因为C=，C=，

而Amⁱ>A，所以Cm²>C，C>Cn³，…，C>C.

又因为C=C，C=C，

所以(1+m)ⁿ>(1+n)^m.

证法二：(1+m)ⁿ>(1+n)^m

nln(1+m)>mln(1+n)

>.

令f(x)=，x∈［2，+∞］，

只要证f(x)在［2，+∞］上单调递减，只要证f ′(x)<0.

f ′(x)==.

当x≥2时，x－lg(1+x)<0，

x²(1+x)>0，得f ′(x)<0，即x∈［2,+∞］时，f ′(x)<0.

以上各步都可逆推，得(1+m)ⁿ>(1+n)^m.

2.对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑：

(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.

1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.