1.函数f(x)在点x₀处连续与f(x)在点x ₀处有极限的联系与区别:

其联系是:f(x)在点x₀处连续是依据f(x)在点x₀处的极限来定义的,它要求f(x)存在.

其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f(x)在点x₀处有极限,对于点x₀而言,x₀可以属于f(x)的定义域,也可以不属于f(x)的定义域,即与f(x₀)是否有意义无关,而f(x)在点x₀处连续,要求f(x)在点x₀及其附近都有定义;其次,f(x)在点x₀处的极限(值)与f(x)在点x₀处的函数值f(x₀)可以无关,而f(x)在点x₀处连续,要求f(x)在点x₀处的极限(值)等于它在这一点的函数值f(x₀).我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.

1.函数f(x)在点x₀处连续反映到函数f(x)的图象上是在点x=x₀处是不间断的.一般地,函数f(x)在点x₀处不连续(间断)大致有以下几种情况(如下图所示).

图甲表示的是f(x)在点x₀处的左、右极限存在但不相等,即f(x)不存在.

图乙表示的是f(x)在点x₀处的左极限存在,而右极限不存在,也属于f(x)不存在的情况.

图丙表示的是f(x)存在,但函数f(x)在点x₀处没有定义.

图丁表示的是f(x)存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f(x₀).

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教学点睛

8.(2003年北京)如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB、BC相切,…,圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆O_n的面积为a_n(n∈N*).

(1)证明{a_n}是等比数列；

(2)求(a₁+a₂+…+a_n)的值.

(1)证明:记r_n为圆O_n的半径，

则r₁=tan30°=l.

=sin30°=,∴r_n=r_n－1(n≥2).

于是a₁=πr₁²=,=()²=,

∴{a_n}成等比数列.

(2)解：因为a_n=()^n－1·a₁(n∈N*),

所以(a₁+a₂+…+a_n)==.

●思悟小结

7.(2002年春季上海)某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.

(1)设a_k(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k(不必证明);

(2)证明：a_k＞a_k+1(k＝1，2，…，n－1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；

(3)发展基金与n和b有关，记为P_n(b)．对常数b，当n变化时，求P_n(b)(可用公式 (1－)ⁿ=).

(1)解：a₁＝，a₂＝(1－)·b，a₃＝(1－)²·b，…，a_k＝(1－)^k－1·b.

(2)证明:a_k－a_k+1＝(1－)^k－1·b＞0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则.

(3)解:设f_k(b)表示发给第k位职工后所剩余额，则f₁(b)＝(1－)·b，f₂(b)＝(1－)²·b，…，f _k(b)＝(1－)^k·b，

得P_n(b)＝f_n(b)＝(1－)ⁿ·b,

故P_n(b)＝.

探究创新

6.求y=f(x)=的不连续点.

解：易求f(x)的定义域为{x|x≠－1,0,1},所以f(x)的不连续点为x=－1,x=0和x=1.

5.抛物线y=b()²、x轴及直线AB:x=a围成了如图(1)的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图(2),阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S.

解：S=［b·()²+b·()²+b·()²+…+b·()²］²·

=·ab

=·ab=ab.

培养能力

4.有以下四个命题:

①f(x)=在［0,1］上连续;

②若f(x)是(a,b)内的连续函数,则f(x)在(a,b)内有最大值和最小值;

③=4;

④若f(x)=则f(x)=0.

其中正确命题的序号是____________.(请把你认为正确命题的序号都填上)

答案：③

3.已知函数f(x)=函数f(x)在哪点连续

A.处处连续　　　　　　　　　　　 B.x=1

C.x=0　　　　　　　　　　　　　　 D.x=

解析：f(x)= f(x)=f().

答案：D

2.若f(x)在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上

A.一定连续

B.一定不连续

C.可能连续也可能不连续

D.以上均不正确

解析：有定义不一定连续.

答案：C

1.函数f(x)=则有

A.f(x)在x=1处不连续

B.f(x)在x=2处不连续

C.f(x)在x=1和x=2处不连续

D.f(x)处处连续

解析：f(x)=0, f(x)=1,

∴f(x)在x=1处不连续.

答案：A