8.已知函数f(x)=ln(e^x+a)(a＞0).

(1)求函数y=f(x)的反函数y=f^－1(x)及f(x)的导数f′(x);

(2)假设对任意x∈［ln(3a),ln(4a)］，不等式|m－f^－1(x)|+ln(f′(x))＜0成立，求实数m的取值范围.

解:(1)由y=f(x)=ln(e^x+a)，

得x=ln(e^y－a)，所以

y=f^－1(x)=ln(e ^x－a)(x＞lna).

f′(x)=［ln(e^x+a)］′=.

(2)由|m－f^－1(x)|+ln(f′(x))＜0,得

ln(e^x－a)－ln(e^x+a)+x＜m＜ln(e^x－a)+ln(e^x+a)－x.

设(x)=ln(e^x－a)－ln(e^x+a)+x, (x)=ln(e^x－a)+ln(e^x+a)－x,于是原不等式对于x∈［ln(3n),ln(4a)］恒成立.等价于(x)＜m＜(x).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

由′(x)=－+1,

′(x)= +－1,注意到0＜e^x－a＜e^x＜e^x+a.

故有′(x)＞0, ′(x)＞0,从而(x)、(x)均在［ln(3a),ln(4a)］上单调递增,因此不等式(*)成立当且仅当(ln(4a))＜m＜(ln(3a)),即ln(a)＜m＜ln(a).

探究创新

7.已知函数f(x)=e^－x(cosx+sinx),将满足f′(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}.

求证：数列{f(x_n)}为等比数列.

证明:f′(x)=－e^－x(cosx+sinx)+e^－x(－sinx+cosx)=－2e^－xsinx,

由f′(x)=0,即－2e^－xsinx=0,

解得x=nπ,n∈Z.从而x_n=nπ(n=1,2,3…),f(x_n)=(－1)ⁿe^－πn.

所以=－e^－π.

所以数列{f(x_n)}是公比q=－e^－π的等比数列.

6.设函数y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.

解:∵y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P(0,d).又曲线在点P处的切线方程为y=12x－4，P点坐标适合方程，从而d=－4.

又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′｜_x=0=12,而y′=3ax²+2bx+c，y′｜_x=0=c，从而 c=12.

又函数在x=2处取得极值0，所以

y′｜_x=2=0,

f(2)=0,即

12a+4b+12=0,

8a+4b+20=0.

解得a=2，b=－9.

∴所求函数解析式为y=2x³－9x²+12x－4.

培养能力

5.设f(x)在x=1处连续，且f(1)=0,=2,求f′(1).

解:∵f(1)=0, 　=2,

∴f′(1)=

= ==2.

4.(2004年重庆,理14)曲线y=2－x²与y=x³－2在交点处的切线夹角是__________.(以弧度数作答)

解析:由得x³+2x²－16=0,(x－2)(x²+4x+8)=0,∴x=2.

∴两曲线只有一个交点.

∵y′=(2－x²)′=－x,∴y′|_x=2=－2.

又y′=(－2)′=x²,∴当x=2时,y′=3.

∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3,

||=1.∴夹角为.

答案:

3.(2004年湖北,文3)已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为

A.f(x)=(x－1)²+3(x－1)

B.f(x)=2(x－1)

C.f(x)=2(x－1)²

D.f(x)=x－1

答案:A

2.(2004年全国Ⅳ,文4)函数y=(x+1)²(x－1)在x=1处的导数等于

A.1　　　　　　　　 B.2　　　　　　　 C.3　　　　　　　 D.4

解析:y′|_x=1=［(x²+2x+1)(x－1)］′|_x=1=［x³+x²－x－1］′|x_x=1=(3x²+2x－1)| _x=1=4.

答案:D

1.(2004年全国Ⅱ,文3)曲线y=x³－3x²+1在点(1，－1)处的切线方程为

A.y=3x－4　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=－3x+2

C.y=－4x+3　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=4x－5

解析:y′=3x²－6x,∴y′|_x=1=－3.

∴在(1,－1)处的切线方程为y+1=－3(x－1).

答案:B

4.函数y=x²的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为___________.

解析:设点A的坐标为(x₀,y₀),

则y′|_x=x=2x|_x=x=2x=k₁,又直线3x－y+1=0的斜率k₂=3.

∴tan45°=1==||.解得x₀=或x₀=－1.∴y₀=或y₀=1,即A点坐标为(，)或(－1，1).

答案:(，)或(－1，1)

●典例剖析

[例1] 若f′(x₀)=2,求.

剖析:根据导数的定义.

解:f′(x₀)= (这时Δx=－k).

∴

=［－·］

=－·

=－f′(x₀)=－1.

评述:注意f′(x₀)= 中Δx的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx=－k,k→0－k→0,

∴f′(x₀)= ,还可以写成f′(x₀)= 或　　 f′(x₀)=［f(x₀+)－f(x₀)］等.

[例2] 若f(x)在R上可导，(1)求f(－x)在x=a处的导数与f(x)在x=－a处的导数的关系；(2)证明：若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数.

剖析:(1)需求f(－x)在x=a处的导数与f(x)在x=－a处的导数；(2)求f′(x)，然后判断其奇偶性.

(1)解:设f(－x)=g(x),则

g′(a)=

=

=－

=－f′(－a).

∴f(－x)在x=a处的导数与f(x)在x=－a处的导数互为相反数.

(2)证明:f′(－x)=

=

=－

=－f′(x).

∴f′(x)为奇函数.

评述:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.

深化拓展

(2)中若f(x)为奇函数，f′(x)的奇偶性如何？

[例3] 求下列函数的导数：

(1)y=x²sinx;

(2)y=ln(x+);

(3)y=;

(4)y=.

解:(1)y′=(x²)′sinx+x²(sinx)′=2xsinx+x²cosx.

(2)y′=·(x+)′

=(1+)

=.

(3)y′=

=.

(4)y′=

=

=.

思考讨论

函数f(x)在点x₀处是否可导与是否连续有什么关系？

●闯关训练

夯实基础

3.设f(x)=ax³+3x²+2,若f′(－1)=4,则a的值等于

A.　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　 　　　 　C.　 　　　 　　　　　D.

解析:f′(x)=3ax²+6x,f′(－1)=3a－6=4,所以a=.

答案:D