6.设f(x)=x³－－2x+5.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当x∈［1，2］时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围.

解：(1)(x)=3x²－x－2=0，得x=1，－.在(－∞，－)和［1，+∞)上(x)>0，f(x)为增函数；在［－，1］上(x)<0，f(x)为减函数.所以所求f(x)的单调增区间为(－∞，－]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］.

(2)当x∈［1，2］时，显然(x)>0，f(x)为增函数，f(x)≤f(2)=7.

∴m>7.

培养能力

5.设函数f(x)=x³－ax²+3x+5(a>0)，求f(x)的单调区间.

解：(1)(x)=3x²－ax+3，判别式Δ=a²－36=(a－6)(a+6).

1°0<a<6时，

Δ<0，(x)>0对x∈R恒成立.

∴当0<a<6时，(x)在R上单调递增.

2°a=6时，y=x³－3x²+3x+5=(x－1)³+4.

∴在R上单调递增.

3°a>6时，Δ>0，由(x)>0x>或x<.

(x)<0<x<.

∴在(，+∞)和(－∞，)内单调递增，在(，)内单调递减.

4.若函数y=－x³+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.

解析：y′=－4x²+b，若y′值有正、有负，则b>0.

答案：b>0

3.函数f(x)的导函数y=(x)的图象如下图，则函数f(x)的单调递增区间为________.

解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，(x)≥0.

答案：［－1，0］和［2，+∞)

2.已知函数f(x)=x⁴－4x³+10x²，则方程f(x)=0在区间［1，2］上的根有

A.3个　　　　　　 　 B.2个　　　　　　　　　　　　　 C.1个　　　　　　 　 D.0个

解析：(x)=4x(x²－3x+5)在［1，2］上，(x)>0，

∴f(x)在［1，2］上单调递增.

∴f(x)≥f(1)=7.

∴f(x)=0在［1，2］上无根.

答案：D

1.已知a>0，函数f(x)=x³－ax在［1，+∞)上是单调增函数，则a的最大值是

A.0　　　　　　 　　　　 B.1 　　　　　　　　　　 C.2　　　　 　　　　　　 D.3

解析：(x)=3x²－a在［1，+∞)上，(x)≥0恒成立，即a≤3x²在［1，+∞)上恒成立，

∴a≤3.

答案：D

4.在(a，b)内(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的________条件.

解析：∵在(a，b)内，f(x)>0，∴f(x)在(a，b)内单调递增.

答案：充分

●典例剖析

[例1] 设f(x)=x³－3ax²+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f(x)的单调区间.

剖析：由已知x=1处有极小值－1，点(1，－1)在函数f(x)上，得方程组解之可得a、b.

解： (x)=3x²－6ax+2b，由题意知

即

解之得a=，b=－.

此时f(x)=x³－x²－x，(x)=3x²－2x－1=3(x+)(x－1).

当(x)>0时，x>1或x<－，

当(x)<0时，－<x<1.

∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－)和(1，+∞)，减区间为(－，1).

评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.

[例2] (2004年全国，19)已知函数f(x)=ax³+3x²－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.

剖析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负.

解：(x)=3ax²+6x－1.

(1)当(x)<0时，f(x)为减函数.

3ax²+6x－1<0(x∈R)，a<0时，Δ=36+12a<0，∴a<－3.

∴a<－3时，(x)<0，f(x)在R上是减函数.

(2)当a=－3时，f(x)=－3(x－)³+.

由y=x³在R上的单调性知：a=－3时，f(x)在R上是减函数，综上，a≤－3.

评述：f(x)在R上为减函数(x)≤0(x∈R).

[例3] (2004年全国，21)若函数y=x³－ax²+(a－1)x+1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，+∞)内为增函数，试求实数a的取值范围.

剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解： (x)=x²－ax+a－1=0得x=1或x=a－1，

当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，+∞)上为增函数，不合题意.

当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，+∞)上为增函数.

依题意，当x∈(1，4)时，(x)<0，当x∈(6，+∞)时，(x)>0，∴4≤a－1≤6.

∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.

评述：若本题是“函数f(x)在(1，4)上为减函数，在(4，+∞)上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数(x)变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.

●闯关训练

夯实基础

3.已知f(x)=(x－1)²+2，g(x)=x²－1，则f［g(x)］

A.在(－2，0)上递增　　 　　　　　　　　　 B.在(0，2)上递增

C.在(－，0)上递增　　　　　　　 　　 D.在(0，)上递增

解析：F(x)=f［g(x)］=x⁴－4x²+6，(x)=4x³－8x，

令(x)>0，得－<x<0或x>，

∴F(x)在(－，0)上递增.

答案：C

2.函数f(x)=ax²－b在(－∞，0)内是减函数，则a、b应满足

A.a<0且b=0　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 B.a>0且b∈R

C.a<0且b≠0　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 D.a<0且b∈R

解析： (x)=2ax，x<0且(x)<0，

∴a>0且b∈R.

答案：B

1.函数y=x²(x－3)的减区间是

A.(－∞，0)　　　　　　　　 　　　　　　　　　 B.(2，+∞)

C.(0，2)　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 D.(－2，2)

解析：y′=3x²－6x，由y′<0，得0<x<2.

答案：C