4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用.

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教学点睛

3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.

2.函数f(x)在极值点不一定可导，如函数y=|x|在x=0处.

1.(x₀)=0是x₀为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件，如函数y=x³在x=0处.

10.有点难度哟！

(2000年全国)用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x+0.5) m，高为

=3.2－2x(m).

由3.2－2x>0和x>0得0<x<1.6.

设容器的容积为y m³，

则有y=x(x+0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，

整理，得y=－2x³+2.2x²+1.6x.

∴y′=－6x²+4.4x+1.6.

令y′=0，有－6x²+4.4x+1.6=0，即15x²－11x－4=0.

解得x₁=1或x₂=－(不合题意，舍去).

从而在定义域(0，1.6)内只有在x=1处使得y′=0.

因此，当x=1时，y取得最大值且y_max=－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2.

●思悟小结

9.已知f(x)=ax⁵－bx³+c(a>0)在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值.

解：已知f(x)=ax⁵－bx³+c，

所以(x)=5ax⁴－3bx²=x²(5ax²－3b).

根据题意(x)=0应有根x=±1，

故5a=3b.

所以(x)=5ax²(x²－1).

因a>0时，列表：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，+∞)
(x)	+	0	－	0	+
f(x)		极大值	?	极小值?

①+②得c=2，

①－②得b=a+2.

又5a=3b，所以a=3，b=5，c=2.

探究创新

8.已知实数a>0，函数f(x)=ax(x－2)²(x∈R)有极大值32.

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

解：(1)∵f(x)=ax(x－2)²=ax³－4ax²+4ax，

∴(x)=3ax²－8ax+4a.

由(x)=0，得3ax²－8ax+4a=0.

∵a≠0，∴3x²－8x+4=0.

解得x=2或x=.

∵a>0，∴x<或x>2时，(x)>0；

<x<2时，(x)<0.

∴当x=时，f(x)有极大值32，即

a－a+a=32，∴a=27.

(2)f(x)在(－∞，)和(2，+∞)上是增函数，在(，2)上是减函数.

7.已知函数f(x)=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在［－3，1］上的最值.

解：(1)(x)=12x²+2ax+b，(1)=12+2a+b=－12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又x=1，y=－12在f(x)的图象上，

∴4+a+b+5=－12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得a=－3，b=－18，

∴f(x)=4x³－3x²－18x+5.

(2)(x)=12x²－6x－18=0，得x=－1， ，f(－1)=16，f()=－，f(－3)=－76，f(1)=－13.

∴f(x)的最大值为16，最小值为－76.

6.直线y=a与函数f(x)=x³－3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围.

解：先求函数f(x)的单调区间，由(x)=3x²－3=0，得x=±1.当x<－1或x>1时，(x)>0；当－1<x<1时，(x)<0.

∴在(－∞，－1)和(1，+∞)上，f(x)=x³－3x是增函数；

在(－1，1)上，f(x)=x³－3x是减函数，由此可以作出f(x)=x³－3x的草图(如图).

由图可知，当且仅当－2<a<2时，直线y=a与函数f(x)=x³－3x的图象有三个互不相同的公共点.

培养能力

5.如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x²(0<x<6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M(t，f(t))处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，

(1)试用t表示切线PQ的方程；

(2)试用t表示△QAP的面积g(t)，若函数g(t)在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值.

解：(1)(x)=2x，

∴k=2t，切线PQ的方程为

y－t²=2t(x－t)，即2tx－y－t²=0.

(2)由(1)可求得P(，0)，Q(6，12t－t²)，

∴g(t)=S_△QAP=(6－t)(12t－t²)=t³－6t²+36t(0<t<6)，g′(t)=t²－12t+36.令g′(t)<0，得4<t<12.

考虑到0<t<6，∴4<t<6，即g(t)的单调减区间为(4，6).

∴m的最小值为4.