6．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,

(Ⅰ)求证：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.

[专家解答]

(I)证明：连结OC

在中，由已知得

而　 　　　 即

　　 平面

(II)取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

(III)设点E到平面ACD的距离为　　

在中,　

而　 　

点E到平面ACD的距离为

★★★高考要考什么

[考点透视]

判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。

[热点透析]

5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则(　　 )

①　　　　　 四边形一定是平行四边形

②　　　　　 四边形有可能是正方形

③　　　　　 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形

④　　　　　 四边形有可能垂直于平面

以上结论正确的为　 ①③④　 。(写出所有正确结论的编号)

4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列

四个命题：①若；　 ②若

③若；　

④若m、n是异面直线，，

其中真命题是( D)

A．①和②　　　　 B．①和③　　　　　　　 C．③和④　　　 　 D．①和④

3．设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，P、Q分别

是侧棱AA₁、　 CC₁ 上的点，且PA=QC₁，则

四棱锥B-APQC的体积为( C )

A．　　　 B．　　　　 C．　 　　　　　　　　　　　　　 D．

2．如图，过平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁任意两条棱的中

点作直线,其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有( D )

A.4条　　 B.6条　　　 C.8条　　　 D.12条

1．已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( B)

A.平面ABC必平行于α　 B. 存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

C. 平面ABC必与α相交　 D. 平面ABC必不垂直于α

10．已知A(－2，0)，B(2，0)，动点P与A、B两点连线的斜率分别为k_PA和k_PB，且满足k_PA·k_PB=t (t≠0且t≠－1).

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120^O，求t的取值范围．

解：(1) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty²=t(x²－4)

+=1，轨迹C的方程为+=1(x≠2).

(2) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂, 则r₁+ r₂=2a=4.

在△F₁PF₂中，|F₁F₂|=2c=4, ∠F₁PF₂=120^O，由余弦定理得

4c²=r+r－2r₁r₂cos120°= r+r+ r₁r₂= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a²,

∴16(1+t)≥12, 　　∴t≥－.

所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120^O

当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，

设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂, 则r₁+ r₂=2a= -4t,

在△F₁PF₂中，|F₁F₂|=2c=4.∠F₁PF₂=120^O，由余弦定理得

4c²=r+r－2r₁r₂cos120°= r+r+ r₁r₂= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a²,

∴16(-1-t)≥-12t, ∴t≤－4.

所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120^O

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120^O的t的取值范围是

.　　　　　　

9．求实数m的取值范围，使抛物线y²=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称

解法1：设抛物线上两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)关于直线y=m(x-3)对称，A，B中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。

当m¹0时，

所以，所以M的坐标为，∵M在抛物线内，

则有，得且m¹0，综上所述，

解法2：设两点为A(x₁，y₁),B(x₂，y₂)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，与方程y²=x联立，得y²+my-b=0　　　　　

所以 y₁+y₂= -m，即，

又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为

又因为中点M在直线x=-my+b上，，

对于，有D=m²+4b=10-m²>0，所以。

8．如图3，抛物线y²=4x的一段与椭圆的一段围成封闭图形，点

N(1，0)在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB

的周长l的取值范围。

解：易知N为抛物线y²=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，

抛物线的准线l₁：x=-1，椭圆的右准线l₂：x=4，

过A作AC^l₁于C，过B作BD^l₂于D，

则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。

由，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标

而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|

∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|

=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|-|BD|

=|CD|-|BD|=5-|BD|

，即

，即l的取值范围为(，4)

7．如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，

C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD

面积的最大值是_______