5.函数y= 的单调递减区间是　　　　　　　 。

4.函数f (x)=x₂+2(a－1)x在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是(　 )

　 　 A.a≥3　 B.a≤－3　 C.a≤5　 D.a=3

3.下列说法中，正确的是( )

　　 A.y= 是减函数　　

　　 B.y= (－1，0)∪(0，1)上是减函数

　　 C. y= (－∞，0)∪(0，+∞)上分别是减函数

　　 D. y= (0，+∞)上是减函数

2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )

　　 A.　　 B.　　 C.　　 D.

1.函数y=(2k+1)x-1在R上是减函数，则(　 )

　 A.　　 B.　　 C.　　 D.

3、复合法：其判别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减函数是减函数；减函数的增函数是减函

　 数； 减函数的减函数是增函数。

　　 简言为：增·增增；增·减减；

　　 　　　　 减·增减；减·减增。

　　　　　　 可类比乘法符号法则来记忆：

　　 　 (+)·(+)=(+)；(+)·(－)=(－)；

　　 　　 　 (－)·(+)=(－)；(－)·(－)=(+)；

　　 例如，求函数的单调性。

　　 解：先作复合映射

　　 函数u=x²-2x在(－∞，0)上是减函数，且u∈[0，+∞]；而函数在[0，+∞]上是增函数，

因为减函数的增函数是减函数，所以函数在(－∞，0]上是减函数。

　　 同理，可得函数在[2，+∞]上是增函数。

[评注]

　　 函数单调性的主要问题是求函数的单调区间和增减性。上面指出的三个判别法──定义法、图象法和

复合法 就是求单调递增区间或递减区间的基本方法。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二阶梯

[例4]根据函数单调性定义，证明函数上是增函数。

[证明]设x₂>x₁≥2，则

[例5]根据函数单调性定义，证明函数在定义域上是减函数。

[证明]由3－x≥0得x≤3，

　　　 　　 ∴函数f(x)的定义域是(－∞，3]

　　　　 设，则

　　 　　 ……①

　　　 ∵x₁<x₂≤3，

　　　 ∴ ，

　　　 ∴由①得

　　　 ∴ 在其定义域(－∞，3)上是减函数。

[评注]

　　 要注意严格按“定义法”证明的三步骤进行：在第一步中，应设，如果设成“x₁<x₂”或设

成“x₁<x₂<3”都是错误的。在第二步中，作差f(x₁)－f(x₂) ，要化成容易“定号”的形式，本题在①处

用 了“分子有理化”的技巧！应注意学会：

　　 (这里是慢镜头)。

在第三步中，一定要根据定义作出明确的结论。

[例6]试总结下列函数的单调性：

　 (1)

　 (2)

[解]

　 　 (1)当k>0时，f(x)在(－∞，+∞)上是增函数；当k<0时，f(x)在(－∞，+∞)上是减函数。

　　 (2)当a>0，g(x)在(－∞， )上是减函数，在[ ，+∞]上是增函数。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第三阶段

[例7]求下列函数的单调区间，并指出增减性(不要求证明)：

　　 (1) ；　　 (2) 。

[探路]化归为基本函数，用复合法解(1)；用图象法解(2)。

[解]

　 (1)函数的定义域是 ，根据函数 和的单调性，得函数

　 　　　 的单调递增区间是： 。 的单调递增区间是： 。

　 (2)函数 的定义域是 。作出该函数的图象如图1中的实线。由图可知：

　　 　 函数的单调递减区间是： ；单调递增区间是： 。

[评注]

　　 求函数的单调区间有定义法、图象法、复合法，把复杂的函数化归为基 本

函数的性质和图象来解决。但要注意选择快法，如本例之(2)用图象法是

“快法”。其中画图只需画草图，一分钟即可画出。如用“复合法”解(2)

也可以成功，但很慢，且容易求错。

例8：已知函数上是增函数，求实数a的取值范围。

[探路]

　　 画出二次函数的草图，用二次函数的单调界点来列a的不等式。

[解]如草图2，抛物线顶点横坐标为 ，函数是增函数的条件是 ，

　　　 解得a的取值范围：a≤2。

[例9]根据函数单调性定义，证明函数上是减函数。

[探路]

　　 严格按照“根据定义证明单调性”的三个步骤来证明，特别注意难点是的“定号”。

由于 ，需证恒为正数，于是想到配方：

　　 但x₁x₂的符号不定，所以思路受阻，进而自我调节，产生各种思路：

　　 思路一：分类讨论。

　　 思路二：重新配方，看能否不分类就能确定符号。

[证法一]

　　 任取x₁<x₂，则

　 　 其中 的符号：

　　 当x₁x₂≥0时，由x₁<x₂x₁、x₂中至少有一个非零

 当x₁x₂<0时，由－x₁x₂>0

　 　 ∴对任意的x₁<x₂，恒有

　　 又由

　　 ∴，

　　 ∴函数上是减函数。

[证法二]我们只证明：当x₁<x₂时，。其余过程同证法一。

　　 当且仅当时，即x₁=x₂=0时，上式等于零。因为x₁≠x₂，所以恒成立。

[评注]

　　 本题的证明方法一──分类法是排除解题受阻的一个通法。由于分类标准的不同，本题有许多证法，

请你发现几个不同的分类证法。

　　 本题证明方法二是反分类，是本题最简捷的证法。

　 　 由本题可知，任意不等二实数a，b，恒有。

[例10]判断函数 的奇偶性。

思路分析：

　 该题为分段函数，可分x<0和x>0两部分考察 _{的关系，从而确定函数的奇偶性。}

解：∵函数 的定义域

　　 综上，对任意x∈(-∞,0)U(0,+∞)均有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数。

　　 说明：本题关键要分段研究f(-x)与f(x)的关系。

[例11]证明函数

思路分析：

　　 证明

证明：函数的定义域为实数，且

2、图象法：在直角坐标系中，函数y=f(x)在某一区间上从左到右图象上升，则f(x)在该区间上是增函数；

　 相反，图象下降，则f(x)是减函数。简言为“升增降减”。例如求二次函数f(x)=－x²+4x+1的单调性。

因此f(x) 的图象是开口向下的抛物线，其最高的横坐标为2，在(－∞，2)上图象上升，在[2，+∞]上图

象下降， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，2)，单调减区间是[2，+∞]。

1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如，判别函数的单调性：

　　　 根据定义，先取x₂>x₁>0，作差

　　 这里的△f是函数改变量f(x₂)－f(x₁)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号

来确定， △f的符号由因式x₁x­₂-4来确定：显然x=2是分界点，当x₁，x₂∈(0，2)时，x₁x₂－4<0，从

而△f<0， 即f(x₂)<f(x₁)，所以f(x)在(0，2)上减函数；当x₁，x₂∈[2，+∞]时，x₁x₂－4>0，从而

△f>0，即f(x₂)>f(x₁)， 所以f(x)在[2，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求

得了：

　 　 函数 的单调区间：(0，2)是减区间，[2，+∞]是增区间。

2.函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域的子集。

例如，的定义域A=(－∞，0)∪(0，+∞),那么，下列说法正确的是　　　　

(把正确说法的代号都填上)

　 ①f(x)在其定义域A上是增函数

　 ②f(x)是单调函数

　 ③f(x)在区间(－∞，0)上是增函数

　 ④f(x)在区间(0，+∞)上是减函数

　 ⑤f(x)的单调增区间有(－∞，0)，(0，+∞)

　 答：正确说法是③、⑤，其它说法都是错误的，我们着重论证说法①是错误的：设x₁=1,x₂=1,则x₁,

　　　 x₂∈A,但

[例2]怎样根据函数单调性定义，证明函数的增减性？试举一例。

[解]根据单调性定义证明函数增减性的步骤是：

　 (1)设x₁,x₂:即设x₁、x₂是该区间上的任意二值，且x₁<x₂

　 (2)比较f(x₁)和f(x₂)的大小：通常采用作差法，即作差f(x₁)-f(x₂)，变形，定号。

　　 (也可以用“作商”等其它比较法)

　 (3)作出结论：根据单调性定义，作出增函数或减函数的结论。

　 　 例：根据函数单调性定义证明在区间(0，2]上是减函数。

　　　 证明：设0<x₁<x₂≤2，则

　　 由 ；

　　 由

　　 ∴由①得，f(x₁)－f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)。

　　 ∴ 在区间(0，2)上是减函数。　

[例3]怎样判别函数的单调性？举例说明。

[解]目前应该学会判断单调性的三个判别法：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第一阶梯

[例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数(减函数)？

[解]

　　 设任意的x₁,x₂∈[a,b],当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂),那么就说f(x)在区间[a,b]上是增函数。

　　 设任意的x₁，x₂∈[a,b],当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说f(x)在区间

[a,b] 上是减函数。

[评注]

1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，

这一区间叫做f(x)的单调区间。