1.. 如图，正方体的棱线长为1，线段

有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是　

　 (A)

　 (B)

　 (C)三棱锥的体积为定值

　 (D)异面直线所成的角为定值

10.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱

ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4

且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，

E是O₁A的中点.

(1)求二面角O₁－BC－D的大小；

(2)求点E到平面O₁BC的距离.

解 　(1)∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，

建立如图所示的空间直角坐标系(如图)

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，

O₁(0，0，3)

设平面O₁BC的法向量为=(x，y，z)，

则⊥，⊥，

∴，则z=2，则x=－，y=3，

∴=(－，3，2)，而平面AC的法向量=(0，0，3)

∴cos<，>=，

设O₁－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.

故二面角O₁－BC－D为60°.

(2)设点E到平面O₁BC的距离为d，

　∵E是O₁A的中点，∴=(－，0，)，

则d=，∴点E到面O₁BC的距离等于.

9. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，，，平面平面.　　

(Ⅰ)求证：；　　　　　　　　　　

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求异面直线和所成角的大小.

作于点，

　平面平面，

平面.

过点作的平行线，交于点.

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系 .　

.　

.

，

.

(Ⅰ)证明　

　 .　

又.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)解　 作于点，连结.

平面， 根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.　　　　　　　　　　　　　　

在中， ，

　 从而，

，　　　　　　　　　　　　　　

即二面角的大小是.　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)解，

，

　 异面直线和所成角的大小为arccos.

8. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，

在正四棱锥中，,点在

棱上．

(Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明；

(Ⅱ)当时,求点到平面的距离；

(Ⅲ)求二面角的大小.

解　 (Ⅰ)当E为PC中点时，．

连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，

∴O为AC的中点，又E为中点，

∴OE为△ACP的中位线，

∴，又，

∴.

(Ⅱ)作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.

则, , ，，．

∴ ， ，

，，

设面的法向量为

　 ,　

点到平面的距离为.　

　(Ⅲ)设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, .

.　

7. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥P-ABCD中，

平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，

△PAB等边三角形.

(1)求二面角B-AC-P的大小；

(2)求点A到平面PCD的距离.

解　 (1)建立如图的空间直角坐标系O-xyz，

则A(－1，0，0)，B(1，0，0)，

则P(0，0，)，C(1，2，0)

设为平面PAC的一个法向量，

则

又

令z=1，得

　　 得

又是平面ABC的一个法向量，

　 设二面角B-AC-P的大小为，

则

(2)设为平面PCD的一个法向量.

则 由D(－1，2，0)，可知)，可得a=0，令，则c=2.

得，

设点A到平面PCD的距离为d，则

∴点A到平面PCD的距离为

6. (安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，

、分别是正四棱柱上、下底面的中

心，是的中点，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

(Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)当时，求直线与平面所成角的大小；　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?　　　　　　　　　　　　　　　　

以点为原点，直线所在直线分别为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则得、、、、

(Ⅰ)证明 　由上得、、

，设得

解得， ∴

，　 ∴∥平面　　　　　　

设平面的法向量为，则由，得， ，∴直线与平面所成角的大小为.

(Ⅲ) 解 　由(Ⅰ)知的重心为，则，

若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得

∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.

5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC－的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45°.

( 1 )求二面角A-BD-C的大小；

(2)求点C到平面ABD的距离.

解　 (1)如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由 得．

取　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又平面的一个法向量　　　　　　　　　　　　　

．　

结合图形可知，二面角的大小为．　　　

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

点到平面的距离＝．

4. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.

(1)　　　 求异面直线AF与BG所成的角的大小；

(2)　　　 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.

解 　由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz 由平面几何知识知：AD＝4,　 D (0, 4, 0),　 B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ),　 P (0, 0, 2),　 E (0, 0, 1),　 F (1 ,0, 1),　 G (1 ,1 ,1) (1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1) ∴·＝0， ∴AF与BG所成角为 　.　 　　　　 (2) 可证明AD⊥平面APB， ∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0) 设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z) 由　 Þ　 故m＝(1,1,2) ∵cos<m,n>＝ ∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.

3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱

，，，

在底面上的射影恰为的中点，

又知。

(I)求证：平面；

(II)求到平面的距离；

(III)求二面角的大小。

(I)证明 　如图，取的中点，则，因为，

　　 所以，又平面，

　　 以为轴建立空间坐标系，

　 则，，，

，，

，，

，由，知，

　 又，从而平面；

(II)解 　由，得。

　 设平面的法向量为，，，

所以，设，则

　 所以点到平面的距离。

　 (III)解　 再设平面的法向量为，，，

　　 所以，设，则，

　　 故，根据法向量的方向，

　　　 可知二面角的大小为。

2. (山西大学附中2008届二月月考)正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点

　(1)求证：；

　(2)求二面角的大小(用反三角函数表示)；

　(3)求点到平面的距离.

(1)证明　 建立如图所示， 　

∵　 　　

∴ ， 即AE⊥A₁D，　 AE⊥BD 　， ∴AE⊥面A₁BD

(2)解　 设面DA₁B的法向量为

由 ， ∴取

设面AA₁B的法向量为 　，

由图可知二面角D-BA₁-A为锐角，∴它的大小为arcos .

(3)解　 ，平面A₁BD的法向量取,

则B₁到平面A₁BD的距离d= .