【例1】如图,扇形AOB的半径为1, 中心角为45°,矩形EFGH内接于扇形, 求矩形对角线长的最小值.
[解析]这是一道高考题,需要用函数思想解决它, 但是取什么量作自变量是解决这个问题的关键,应
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反复斟酌. 根据这个问题的图形特点,取
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将对角线长表示成这个角的函数是比较好的想法.
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所以,当时,
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[解法二]设矩形的高
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∴矩形的宽
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∴对角线
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令
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令
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在的左、右两侧取定义域内两点,如取
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得
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.
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[评析]该问题的难点是正确选择自变量,上面两种解法各有优缺点,解法一虽然简单些,但选择”角”作自变量有时会涉及到过多的三角知识,在许多情况下会出现困难的运算,应慎重;解法二选择矩形的边长为自变量的想法要常规一些. 【例2】已知正四棱锥边长为3,求它的体积的最大值.
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[解析]设底面边长为,
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且左正右负,∴当.
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(初等方法)
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等号成立时, [评析]立体几何中的最值综合问题是高中数学中的一种重要题型,在立几的复习中将会作更多的讨论.
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(Ⅰ)求时的解析式;
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(Ⅱ)若矩形ABCD的两个顶点A、B在轴上,另两个顶点C、D在函数的图象上,求这个矩形面积的最大值.
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(Ⅱ)设则,
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当
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设
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∴矩形ABCD面积
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令
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[评析]这是代数与几何的综合型的最值问题,由于这种问题能综合考核较多的数学能力,因此这是常见的试题形式,在该问题中求的值域时,换元这一步是很重要的想法,这样大大降低了运算量.
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由条件知:即 设外接圆的半径为R,即求R的最小值,
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等号成立时,
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∴当时R2最小,即R最小,从而周长最小,
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此时 [评析]这是最值的应用问题,在函数型的应用问题中,最值应用问题占了很大的比例,也是紧常见的应用题的试题形式,应多加强这方面的训练. (一)知识归纳:
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二、最值在参数讨论中的应用 1.“恒成立”问题:“设函数的定义域为区间D,
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2.“存在”问题:设函数的定义域为区间D,
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1.“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题,而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法,在具体解决问题时又有两条基本思路: ①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边,然后变量形成的函数的最值; ②“参数”与“变量”不分离,将整个式子看成一个函数,并求它的最值.
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2.必须注意,如果在定义区间D上没有最大或最小值,而只有上限或下限,则最后的结果可能要将“<(>)”改为“≤(≥)”.
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[解析]曲线的公共点为方程组的解,命题最终化归为二次方程的判断式“对恒成立”.
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联立
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(1)若,显然当时方程无解,命题不成立;
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(2)若方程为一元二次方程,
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则恒成立,
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[评析]这是高考中的一道基础型试题,如果对“恒成立”的概念与方法很熟悉,则问题解答得心应手.
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