海淀2007高三数学查漏补缺题
07年高考数学北京卷应该是在06年北京卷成功的基础上,稳定的发展,复习中要对各区题目(尤其东城、西城、海淀)文科理科中重点板块不仅要明确知识点,而且还要掌握结构特点,要用联系的思想看知识间的综合,用运动的观点看能力的要求. 高考数学试题是以思维能力考查为主体的，试题展现数学关系常常选取不同展示形式（图表、图象、曲线图、表格、符号、等等）之一，同学们要善于利用数学信息的多种表述分析问题，联系已有知识方法，提高分析问题、解决问题能力.
一、函数与导数
1．〖理科〗 已知函数f (x)=6lnx―ax2―8x+b (a，b为常数)，且x =3为f (x)的一个极值点．
(Ⅰ) 求a；
(Ⅱ) 求函数f (x)的单调区间；
(Ⅲ) 若y = f (x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围．
解： (Ⅰ) ∵ f ′ (x) =
―2ax―8， ∴ f ′ (3) =2―
(Ⅱ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）．
由(Ⅰ) 知f (x) =6lnx+x2―8x+b．
∴
f ′ (x) =+2x―8=
．
由f ′ (x)>0可得x>3或x<1，由f ′ (x)<0可得1<x<3．
∴函数f (x)的单调递增区间为(0，1)和(3，+∞)，单调递减区间为(1，3)．
(注：单调区间应分开写，不能用“È”连接)
(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，3)单调递减，在(3，+∞)单调递增．
且当x=1或x=3时，f ′ (x)=0．
∴ f (x)的极大值为f (1)=6ln1+1―8+b=b―7，
f (x)的极小值为f (3)=6ln3+9―24+b=6ln3+b―15．
∵当x充分接近0时，f (x)<0，当x充分大时，f (x)>0，
∴要使f (x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需
则7<b<15―6ln3
2．〖理科、文科〗设函数
，其图象在点
处的切线的斜率分别为
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若函数
的递增区间为
，求
的取值范围；
（Ⅲ）若当
时（k是与
无关的常数），恒有
，试求k的最小值．
（Ⅰ）证明：
，由题意及导数的几何意义得
，
（1）
，
（2）
又
，可得
，即
，故
由（1）得
，代入，再由
，得
，
（3）
将代入（2）得
，即方程
有实根．
故其判别式
得
，或
， （4）
由（3），（4）得；
（Ⅱ）解：由的判别式
，
知方程
有两个不等实根，设为
，
又由
知，
为方程（
）的一个实根，则由根与系数的关系得
，
当
或
时，
，当
时，
，
故函数的递增区间为
，由题设知
，
因此
，由（Ⅰ）知得
的取值范围为
；
（Ⅲ）解：由
，即
，即
，
因为，则
，整理得
，
设
，可以看作是关于
的一次函数，
由题意
对于恒成立，
故
即
得
或
，
由题意，
，
故
，因此
的最小值为
．
二、数列
3．对于数列{an}， {cn}数列，其中cn=an+1― an (nÎN*)．
(Ⅰ) 若数列{an}的通项公式
(nÎN*)，求{cn}的通项公式；
(Ⅱ) 若数列{an}的首项是1，且满足cn― an=2n．
(1) 求证：数列
为等差数列；
(2) (理) 若
(nÎN*)，求证：
．
(文) 求数列{an}的前n项和Sn．
证明：(Ⅰ)依题意cn=an+1― an，
∴ cn=
．
(Ⅱ)(1)由cn― an=2n得an+1― an― an=2n，即an+1=2an+2n．
∴
，即
．
∵a1=1，
，∴
是以
为首项、为公差的等差数列．
(2)(理)由(1)知an=n?2n-1．
∴ 
．
∴ 
．
∴ 
=
．
=
(文)由(1)得an=
＝n?2n-1，
∴ Sn = a1+a2+…+an=1?20+2?21+…+n?2n-1， ①
∴ 2Sn=1?21+2?22+…+n?2n． ②
①―②得：― Sn=1+2+22+…+2n-1― n?2n =
― n?2n，
∴ Sn= n?2n― 2n+1=(n― 1)?2n +1．
4．〖理科、文科〗 设数列
的各项都是正数，记Sn为数列的前n项和，且对任意n∈N+，都有
.
（Ⅰ）求证：
=2Sn－an；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若
（
为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意 n∈N+，都有bn+1>bn.
（Ⅰ）证明：在已知式中，当n=1时，
∵a1>0 ∴a1=1……………………………………1分
当n≥2时， ①
②
①－②得，
…………………………3分
∵an>0 ∴=
即=2Sn－an ∵a1=1适合上式
∴=2Sn－an(n∈N+)……………………5分
（Ⅱ）解：由（1）知=2Sn－an(n∈N+) ③
当n≥2时， 
=2Sn－1－an－1
④
③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+
an－1
∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1……………………8分
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………9分
（Ⅲ）解：∵
欲使
即
成立 ⑤……………………11分
当n=2k－1，k=1，2，3，…时，⑤式即为
⑥
依题意，⑥式对k=1，2，3…都成立，∴λ<1………………12分
当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为
⑦
依题意，⑦式对k=1，2，3，…都成立，
∴
……………………13分
∴
∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N+，都有
>
三、立体几何
5. 〖理科、文科〗 如图，已知正三棱柱
―
的底面边长是
，
是侧棱
的中点，直线
与侧面
所成的角为
．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
（Ⅰ）证明：设正三棱柱―的侧棱长为
．取
中点
，连
．
是正三角形，
．
又底面
侧面，且交线为．
侧面．
连
，则直线与侧面所成的角为
．
在
中，
，解得
．
此正三棱柱的侧棱长为
．
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解：解法1：过作
于
，连
，
侧面
．
为二面角的平面角．
在
中，
，又
， 
．
又
在
中，
．
故二面角的大小为
．
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解：解法1：由（Ⅱ）可知，
平面
,平面
平面
，且交线为，过作
于
，则
平面．
在中，
．
为中点，点到平面的距离为
．
解法2： （思路）等体积变换:由
可求．
解法3： （向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系
．
则
．
设
为平面的法向量．
由
得
．
取
又平面
的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的大小为
．
（Ⅲ）解法3：由（Ⅱ）解法2，
点到平面的距离
＝
．
注：若为了看图方便，也可以把图调整后，标好字母证明之.
6. 〖理科、文科〗如图，在四棱锥E－ABCD中,AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200．
(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面ABE ；
(Ⅱ)求点C到平面ADE的距离.
解法1:取BE的中点O,连OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图，
则由已知条件有:
,
,
,
设平面ADE的法向量为ｎ=
，
则由ｎ?
及ｎ?
可取ｎ
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为m＝
.
∵ｎ?m?=0,
∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE.
（Ⅱ）点C到平面ADE的距离为
解法2:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,DF.则
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB=2CD
∴CD ， CD∴
∥ FD
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
从而平面ADE⊥平面ABE.
（Ⅱ）∵CD ,延长AD, BC交于T
则Ｃ为ＢT的中点．
点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的
.
过B作BH⊥AE，垂足为H.∵平面ADE.⊥平面ABE.∴BH⊥平面BDE.
由已知有AB⊥BE.
BE=
，AB= 2, ∴BH=
，
从而点C到平面ADE的距离为
或∥ FD, 点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为.
或取A B的中点M.易证
∥ DA.点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为.
四、三角函数
7．〖理科、文科〗已知三点
,其中
.
(Ⅰ)若
,求角
的值;
(Ⅱ)若
,求
的值.
解:(Ⅰ) 
.
∵,∴
,即
,
化简得
,∴
.
∵,∴
.
(Ⅱ) 
,
,
∴
8．〖理科、文科〗已知：
为实数，函数
∈R.
（Ⅰ）设
求
的取值范围；
（Ⅱ）当
的最大值是3时，求的值.
解：
的取值范围是
令
（1）
的最大值为
依题意
（满足
）
（2）
时的最大值为
依题意
，所以，
不满足题意.
(3)
时, 的最大值为
依题意
,
,满足.
由以上知：
.
五、概率
9. 〖理科〗某保险公司的统计表明，新保险的汽车司机中可划分为两类：第一类人易出事故，其在一年内出事故的概率为0.4，第二类人为谨慎的人，其在一年内出事故的概率为0.2.假定在新投保的3人中有一人是第一类人，有两人是第二类人.一年内这3人中出现事故的人数为记为
.（设这三人出事故与否互不影响）
（Ⅰ）求三人都不出事故的概率；
（Ⅱ）求的分布列及数学期望.
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
0
1
2
3
p
10. 〖理科、文科〗三名学生进行投篮测试，投中两次就停止投篮记为过关，每人最多可投4次.已知每位同学每次投中的概率均为，且各次投篮投中与否互不影响.
(Ⅰ)求每位同学过关的概率；
(Ⅱ)求恰有两位同学过关的概率；
（Ⅲ）求至少有一位同学过关的概率.
解：(Ⅰ)设每位同学过关的概率记为p
(Ⅱ) 设恰有两位同学过关的概率为
（Ⅲ）设至少有一位同学过关的概率
六、不等式
11、〖理〗已知关于的不等式
的解集为
，且
.求
解：易知对任意的
，均有
的取值范围是
当
时，有
，故
，
当
时，
,故
，
当
时，有
,故
，
因此，当时，
，
当
时，
，
当
时，
.
12、〖理科、文科〗若实数
，解关于的不等式
.
解：
当
时，有，故不等式的解集为
，
当时，不等式转化为
,故不等式的解集为
，
当时，有
,故不等式的解集为
.
七、解析几何
13. 〖理科、文科〗已知两定点
，动点M满足
.
(Ⅰ)求动点M的轨迹Q的方程；
(Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且
，直线AE与BF交于点
，求证：
为定值；
(Ⅲ) 〖理科〗在第（Ⅱ）问的条件下，求证：过点
和点E的直线是曲线Q的一条切线.
（Ⅳ）在第（Ⅱ）问的条件下，试问是否存在点E使得
（或
），若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设动点
，因为
所以
或
化简得：
（Ⅱ）由可设点
则由A、P、E三点共线可得
，同理可得：
，两式相乘得：
，又因为
，所以=3
（Ⅲ）点E处曲线Q的切线的斜率为
，则切线方程为
，AE、BF的方程为
，
，则
，所以
在上述切线上，即过点
和点E的直线是曲线Q的一条切线.
（Ⅳ） 先证：
（其中用到
代换）
由此可得：
.
要使，则只需
，即
.而
，因此不存在点E使得成立.
另解：同前可得，要使，则只需
，即
，化简得
，显然不成立.
14〖理科、文科〗如图，已知
，N、P两点分别在
轴和轴上运动，并且满足
，
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若正方形ABCD的三个顶点A、B、C在点Q的轨迹上，求正方形ABCD面积的最小值.
解（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）如图，不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中A、B在x轴的下方（包括x轴），记A、B、C的坐标分别为
，其中
并设直线AB的斜率为k（k＜0）
则有
……①
又因为A、B、C在抛物线
上，故有
代入①式得
……②
∵
即
∴
∴
将②代入可得：
即
，
得
正方形的边长为
易知
所以
所以正方形ABCD面积的最小值为
.
祝同学们考试顺利！
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