1．若复数是纯虚数，则实数等于（       ）

      A．                         B．                           C．                           D．

2．直线的倾斜角是（       ）

      A．                          B．                          C．                        D．

      A．                         B．                         C．                         D．

4．函数的反函数是（       ）

      A．                                 B．

      C．                               D．

5．已知函数，则下列判断正确的是（       ）

   A．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为

   B．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为

   C．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为

   D．的最小正周期为，其图象的一条对称轴为

6．函数与在同一直角坐标系下的图象是（       ）

7．设、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（       ）

      A．若，与所成的角相等，则

      B．若与，所成的角相等，则

      C．若，与所成的角相等，则

      D．若，，则

8．若，则（       ）

      A．                  B．       C．     D．

9．某电视台连续播放个不同的广告，其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（       ）

   A．种            B．种             C．种             D．种

10．已知P、、、是平面内四点，且，那么一定有（       ）

   A．       B．       C．       D．

11．已知元素为实数的集合满足条件：若，则，那么集合中所有元素的乘积

为（       ）

      A．                         B．                            C．                           D．

12．双曲线的左、右焦点分别为、，点在其右支上，且满足，，则的值是（       ）

      A．                B．                C．                     D．

13．已知映射，集合中元素在对应法则作用下的象为，那么中元素的象

是                  

14．设圆关于直线对称的圆为，则圆的圆心坐标为                 ，

再把圆沿向量平移得到圆，则圆的方程为                            

15．若，则         ，        

16．在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，则线段被正方体的内切球球面截在球内的线段长为                        

17、（本小题满分10分）

在中，已知为锐角，且

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若，，，求边的长。

18、（本小题满分12分）

某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办、两种形式的知识竞猜活动。种竞猜活动规定：参赛者回答个问题后，统计结果，答对个，可获福娃一个；答对个或个，可获其它奖品；种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个问题就结束竞猜，且最多回答个问题，答对一个问题者可获福娃一个。假定参赛者答对每个问题的概率均为

（Ⅰ）求某人参加种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；

（Ⅱ）设某人参加种竞猜活动，结束时答题数为，求

19、（本小题满分12分）

如图，正方体的棱长为，动点在棱上

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当时，求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）当时，求点到平面的距离。

20、（本小题满分12分）

已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于、两点，分别过点、作抛物线的两条切线和，记和相交于点

（Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值；

（Ⅱ）求点M的轨迹方程。

21、（本小题满分12分）

已知数列为等差数列．

（Ⅰ）若，公差，且，求的最大值；

（Ⅱ）对于给定的正整数，若，求的最大值

22、（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求；

（Ⅱ）设的导函数是，在（Ⅰ）的条件下，若，求的最小值；

（Ⅲ）若存在，使，求的取值范围。

昆十四中2008届高三年级适应性考试

理科数学 答题卡

满分：分       时间：分钟            得分             

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

13．                                            14．                       

15．                                            16．                        

17．（本小题满分10分）

18．（本小题满分12分）

19．（本小题满分12分）

20. （本小题满分12分）

21. （本小题满分12分）

22. （本小题满分12分）

昆十四中2009届高三年级统测

理科数学 答案

满分：分       时间：分钟            得分             

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

D

B

A

C

A

D

C

C

D

B

C

13．                                       14．    ，   

15．       ，                            16．                   

17．（本小题满分10分）

解：（1）

因为为锐角  ，所以 ，

当时，取得最大值，其最大值为

（2）由，得，得  

又   

在中，由正弦定理得

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，依题意，答对一题的概率为，则

P（M）= =15×==.  

（Ⅱ）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数=1，2，…,6，

则P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=, P(=5)=,

P(=6)= ,   

所以, 的分布列是

1

2

3

4

5

6

E=1×+2××+…+5××+6×.

设S=1+2×+…+5×,

则S=+2×+3×+4×+5×,

S=1++++-5×=-5×,

E₌-5×+6×==. 

答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；某人参加B种竞猜活动，

结束时答题数为，E为.

19．（本小题满分12分）

解法一：（Ⅰ）证明：连结A₁D，在正方体AC₁中，∵A₁B₁⊥平面A₁ADD_1，

∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁内的射影.

∵在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，∴PD⊥AD_1. 

解：（Ⅱ）取D₁C₁中点M，连结PM，CM,则PM∥A₁D₁.

∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴PM⊥平面D₁DCC₁.

∴CM为CP在平面D₁DCC₁内的射影.则∠PCM为CP与平面D₁DCC₁

所成的角.    

在Rt△PCM中,sinPCM==.

∴CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值为.

（Ⅲ）在正方体AC₁中，D₁D∥C₁C.

∵C₁C平面D₁DP内，

∴C₁C⊥∥平面D₁DP.

∴点C到平面D₁DP的距离与点C₁

到平面D₁DP的距离相等.

又D₁D⊥平面A₁B₁C₁D_1,

DD₁平面D₁DP

∴平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D_1,

又平面D₁DP∩平面A₁B₁C₁D₁=

D₁P,过C₁作C₁H⊥D₁P于H,

则C₁H⊥平面D₁DP.

∴C₁H的长为点C₁到平面D₁DP的距离.  

连结C₁P，并在D₁C₁上取点Q，使PQ∥B₁C₁，在△D₁PC₁中,

C₁H?D₁P=PQ?D₁C₁，得C₁H= .

∴点C到平面D₁DP的距离为.  

解法二：如图，以D为坐标原点，建立空

间直角坐标系D-xyz.

由题设知正方体棱长为4，则

D(0,0,0) ,A(4,0,0)，

B₁(4,4,4) ,A₁(4,0,4)，

D₁(0,0,4) ,C（0,4,0）.

 (Ⅰ)设P(4，y₀，4),

∴=(4,y₀,4),

∴=(-4,0,4)

∵?=-16+16=0,

∴PD⊥AD_1.  

（Ⅱ）由题设可得,P（4,2,4），故=（4，-2，4）.

∵AD⊥平面D₁DCC_1, ∴=(4,0,0)是平面D₁DCC₁的法向量. 

∴cos<, >=          =.

∴CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值为.

(Ⅲ) ∵=(0,4,0),设平面D₁DP的法向量n=(x,y,z),

∵P(4,3,4), ∴=(0,0,4),=(4,3,4).

则             即令x=-3,则y=4.  

∴n=(-3,4,0).  

∴点C到平面D₁DP的距离为d=        =.

20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）解：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，

将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0.                                 

设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，则x₁x₂=-2p².                     

将抛物线的方程改写为y=，求导得y′=

所以过点A的切线l₁的斜率是k₁=，过点B的切线l₂的斜率是k₂=，

故k₁k₂=，所以直线l₁和l₂的斜率之积为定值-2.                    

（Ⅱ）【法一】解：

设M（x,y）.因为直线l₁的方程为y-y₁=k₁(x-x₁)，即，

同理，直线l₂的方程为，

联立这两个方程，消去y得，

整理得(x₁-x₂)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=.              

此时y=.             

由(Ⅰ)知，x₁+x₂=2pk，所以x==pkR,

所以点M的轨迹方程是y=-p.

【法二】设，则直线的方程为即

因点在直线上  故

于是点在直线上

同理，点在直线上

直线的方程为

又直线经过点                 

即点的轨迹为                                         

21. （本小题满分12分）

（I）解：由≤48，

可得≤48，又a₁=3,d=1,

可得6+3n+≤48.

整理得   n²+5n－84≤0,

解得－12≤n≤7,

即n的最大值为7.               

（II）解：S=，

设a_m+1+a_2m+1=A，

则A=a_m+1+ a_2m+1 + a₁－a₁=a_m+1+2a_m+1－a₁=3a_m+1－a₁,

则a_m+1=,

由，

可得10a₁²+2Aa₁+A²－9=0,

由△=4A²－40(A²－9)≥0,

可得－≤A≤.

所以S=≤.

即S的最大值为.          

22. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f′(x)=-3x²+2ax.  

据题意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x³+2x²-4,

则f′(x)=-3x²+4x.

X

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

f′(x)

-7

-

0

+

1

f(x)

-1

-4

-3

∴对于m［-1,1］,f(m)的最小值为f(0)=-4

∵f′(   x)=-3x²+4x的对称轴为x=,且抛物线开口向下，

∴x［-1,1］时，f′(   x)的最小值为f′(   -1)与f′(   1)中较小的.

∵f′(  1)=1，f′(  -1)=-7,

∴当x［-1,1］时，f′(   x)的最小值为-7.

∴当n［-1,1］时，f′ (   x)的最小值为-7. 

∴f(m)+ f′(   n)的最小值为-11. 

(Ⅲ) ∵f′(  x)= -3x.

①若a≤0,当x>0时，f′(   x)<0, ∴f(x)在［0,+∞上单调递减.

又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.

∴当a≤0时,不存在x₀>0,使f(x₀)>0.

②若a>0,则当0<x<时，f ′(  x)>0,当x>时，f ′(  x)<0.

从而f(x)在(0, 上单调递增，在 [,+∞上单调递减.

∴当x(0,+∞)时, f(x)_max=f()=-+-4=-4.

据题意，-4>0，即a³>27. ∴a>3. 

综上，a的取值范围是(3,+∞).