22. (2011湖南永州，23，10分)如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点(不与A，B重合)，连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．

⑴求证：BE是⊙O的切线；

⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．

[答案]证明：⑴∵AB是半圆O的直径　 ∴∠ACB=90°

∵OD∥AC　 ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°

又∵∠OEB=∠ABC　 ∴∠BOD+∠OEB=90°　 ∴∠OBE=90°

∵AB是半圆O的直径　 ∴BE是⊙O的切线

⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴

∴　 ∴

∴．

21. (2011湖南衡阳，24，8分)如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．

(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．

[解] (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：

作直径CE，连结AE．

∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E+∠ACE=90°，

∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，

∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．

(2)∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，

又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，

∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，

∴∠DOA=60°，

∴在Rt△DCO中， =，

∴DC=OC=OA=2．

20．(2011湖北武汉市，22，8分)(本题满分8分)如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．

(1)求证：PB为⊙O的切线；

(2)若tan∠ABE=，求sinE的值．

[答案](本题8分)(1)证明：连接OA

∵PA为⊙O的切线，

　　∴∠PAO=90°

　　∵OA＝OB，OP⊥AB于C

　　∴BC＝CA，PB＝PA

　　∴△PBO≌△PAO

　　∴∠PBO＝∠PAO＝90°

　　∴PB为⊙O的切线

(2)解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°

由(1)知∠BCO＝90°

　　∴AD∥OP

　　∴△ADE∽△POE

　　∴EA/EP＝AD/OP　 由AD∥OC得AD＝2OC　

∵tan∠ABE=1/2　

∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t

　　∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m

　　∵PA=PB∴PB=3m

　　∴sinE=PB/EP=3/5

(2)解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由(1)知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC　 ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，

∴PA＝PB＝2t　 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC

　　∴AF=t　 进而由勾股定理得PF＝t

　　∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

19. (2011江苏无锡，27，10分)(本题满分10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。

　　 (1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；

　　 (2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。

[答案]

解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，…………………………………………………………(1分)

⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t + 1，0)，直线l为x = 4 − t，

若直线l与⊙P相交，则……………(3分)

解得： < t < ．……………………………………………………………………(5分)

(2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t − 4，AC = t．若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB，

∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴，∴，解得t = ，……(6分)

此时AP = ，AC = ，∴PC = ，而PB = 7 − 3t = ≠ PC，

故四边形CPBD不可能时菱形．……………………………………………(7分)

(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)

现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，

若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，，∴，

即：，解得

∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分)

18. (2011四川凉山州，27，8分)如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。

(1)　　　 求证：是半圆的切线；

(2)　　　 若，，求的长。

[答案]

⑴证明：连接，

　　 ∵是直径　 ∴

　　 有∵于　 ∴

　　 ∵　 ∴　

　　 ∵是的角平分线

　　 ∴　　

　　 又 ∵为的中点

　　 ∴　　

　　 ∵于

　　 　∵　 即

　　 又∵是直径　 ∴是半圆的切线 ···4分

(2)∵，。

由(1)知，，∴。

在中，于，平分，

∴，∴。

由∽，得。

∴，

∴。

17. (2011四川乐山24，10分)如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长

[答案]

⑴证明：连接OD

∵OA=OD

∴∠ADO=∠OAD

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADO+∠BDO=90°

∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°

∵∠CDA=∠CBD

∴∠CDA+∠ADO=90°

∴OD⊥CE

即CE为⊙O的切线

16. (2011四川绵阳22，12)如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的

半圆O与BC相切.

(1)求证：OB丄OC;

(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O₁与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，求⊙O₁的面积.

[答案](1)证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中

∵

∴△AOB≌△AOB(HL)

同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC

(2) 过点做O₁G,O₁H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O₁G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O₁C =6-x,根据勾股定理可知O₁G²+GC²=O₁C²

x²+3x²=(6-x)²∴(x-2)(x+6)=0,x=2

15. (2011江苏南通，22，8分)(本小题满分8分)

如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.

[答案]60°.

14. (2011江苏淮安，25，10分)如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.

(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.

[答案](1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下：

　　　　　　　 如图，连接OD，

∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，

∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，

即OD⊥BD，

∴直线BD与⊙O相切.

(2)解：由(1)知，∠ODA=∠DAB=30°，

∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，

又∵OC=OD，

∴△DOB是等边三角形，

∴OA=OD=CD=5.

又∵∠B=30°，∠ODB=30°，

∴OB=2OD=10.

∴AB=OA+OB=5+10=15.

13. (2011四川广安，29，10分)如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

　　 (1)求证：PB是⊙O的切线；

　　 (2)求证： AQ·PQ= OQ·BQ；　

　　 (3)设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长

[答案](1)证明：如图，连结OP

　　　　　　 ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO

　　　　　　 ∴△APO≌△BPO　　　　 ∴∠PBO=∠PAO=90°

　　　　　　 ∴PB是⊙O的切线

　　　 (2)证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°

　　　　　　　　　 ∴△QPB∽QOA

∴　　 即AQ·PQ= OQ·BQ

　　　 (3)解：cos==　　　 ∴AO=12

　　　　　　 ∵△QPB∽QOA　　 ∠BPQ=∠AOQ=

　　　　　　 ∴tan∠BPQ==　　 ∴PB=36　 PO=12

　　　　　 ∵AB·PO= OB·BP　　　　 ∴AB=