34. (2011内蒙古乌兰察布，24，16分)如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y

轴分别交于C、D两点

　(1)求 m的值；

( 2 )求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；

( 3 )若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积，是四边形OACD 面积的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

[答案]⑴设反比例函数的解析式为：，把代人解析式中求得.当时，，所以；

⑵设直线OA的解析式为，把代人解析式中求得，则有，

设直线BD的解析式为，把代人解析式中求得，则有，所以B(6,1.5)、D(0，－4.5)

设抛物线的解析式为由题意知

解得

所以

⑶由求出C(4.5,0)，四边形OACD 面积=，

四边形 OECD 的面积

经分析点E在x轴的上方，四边形 OECD 的面积

则所以，求出即点E的纵坐标是，把代人中得出，所以E()或E().

33. (2011山东东营，23，10分)(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0,2)，点C(1,0)，如图所示；抛物线经过点B。

(1)　　　 求点B的坐标；

(2)　　　 求抛物线的解析式；

　(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。

[答案]解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°；

∴∠BCD=∠CAO； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，

∴ △BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)

(2)抛物线经过点B(3,1)，则得　 解得，所以抛物线的解析式为

(3)假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P₁　 使得P₁C=BC,得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图(1)。

∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，　 ∠P₁MC=∠BDC=90°，∴△MCP₁≌△BCD

∴ CM=CD=2，P₁M=BD=1，可求得点P₁(-1，-1)；经检验点P₁(-1，-1)在抛物线为上；

②若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图(2)。同理可得△AP₂N≌△CAO；∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，可求得点P₂(-2，1)，；经检验点P₂(-2，1)也在抛物线上；

③若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图(3)同理可得△AP₃H≌△CAO；∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，可求得点P₃(2，3)，；经检验点P₃(2，3)不抛物线上；

故符合条件的点有P₁(-1，-1)，P₂(-2，1)两个。

32．(2011湖南永州，24，10分)如图，已知二次函数的图象经过A(，)，B(0,7)两点．

⑴求该抛物线的解析式及对称轴；

⑵当为何值时，？

⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

[答案]解：⑴把A(，)，B(0,7)两点的坐标代入，得

　 解得

所以，该抛物线的解析式为，

又因为，所以对称轴为直线．

⑵当函数值时，的解为，

结合图象，容易知道时，．

⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，

则，即

因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴对称，设点D的横坐标为，则，所以，所以CD=

因为CD=CF，所以，整理，得，解得或5．

因为点C在对称轴的左侧，所以只能取．

当时，==4

于是，得点C的坐标为(，4)．

31. (2011广东茂名，25，8分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴与轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

(2)设点P为抛物线()上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；　　　　 　　　　　　(2分)

(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．　　　　　　　 (3分)

[答案]解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为，

　 把点A(0，4)代入上式得：，

　∴，

　∴抛物线的对称轴是：．

(2)由已知，可求得P(6，4)．

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，

即P(6，4)．

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为，此时点N(，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，

此时：NG＝－()，

＝．

∴

∴当时，△CAN面积的最大值为，

由，得：，∴N(， －3)．

法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则

(再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略)

30. (2011湖北黄石，25，10分)已知二次函数y=x²－2mx+4m－8

　　　 (1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。

　　 (2)以抛物线y=x²－2mx+4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M、N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

　　 (3)若抛物线y=x²－2mx+4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。

[答案]解：(1)∵x==m

∴m≥2

(2)

A(m,-m²+4m-8)

由对称性可知∠MAC＝30⁰

故设y_AM=x+b

把A(m,-m²+4m-8)代入y_AM=x+b

得，b=-m²+(4-)m-8　　

即y_AM=x-m²+(4-)m-8

∴

解之得x₁=m，x₂=+m

∴CM＝

∴S_△AMN＝＝3

(3)x=＝m

∵图象与x轴交点的横坐标均为整数

∴整数m=2

29. (2011湖北武汉市，25，12分)(本题满分12分)如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过A(－3，0)，B(－1，0)两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为M，直线y=－2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

(3)如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

[答案](1)抛物线y=ax²+bx+3经过A(－3,0)，B(－1,0)两点

∴9a－3b+3＝0 且a－b+3＝0

　　解得a＝1　，　b　＝4

∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3

(2)由(1)配方得y=(x+2)²－1

∴抛物线的顶点M(－2，1)

∴直线OD的解析式为y=x

　于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h，h)，

∴平移的抛物线解析式为y=(x－h)²+h．

①当抛物线经过点C时，∵C(0，9)，∴h²+h=9，

　　解得h=．　

∴　当　≤h＜　时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点．

　　②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，

　　由方程组y=(x－h)²+h，y=－2x+9．　　

　得　x²+(－2h+2)x+h²+h－9=0，

∴△=(－2h+2)²－4(h²+h－9)=0，

　　解得h=4．

　　此时抛物线y=(x－4)²+2与射线CD唯一的公共点为(3，3)，符合题意．

　　综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是　h=4或　≤h＜．

　　(3)方法1

　　将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x²，

设EF的解析式为y=kx+3(k≠0)．

假设存在满足题设条件的点P(0，t)，如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．

∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，

∴GP/PH=GE/HF,

∴－x_E/x_F=(y_E－t)/(y_F－t)=(kx_E+3－t)/(kx_F+3－t)

　∴2kx_E·x_F=(t－3)(x_E+x_F)

　由y=x²，y=－kx+3．得x²－kx－3=0．

　∴x_E+x_F=k，x_E·x_F=－3．

∴2k(－3)=(t－3)k

∵k≠0，∴t=－3．

∴y轴的负半轴上存在点P(0，－3)，使△PEF的内心在y轴上．

方法2　：设EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E，F的坐标分别为(m，m²)(n，n²)由方法1知：mn=－3．作点E关于y轴的对称点R(－m，m²),作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点．

由F，R的坐标，可得直线FR的解析式为y=(n－m)x+mn．

当x=0，y=mn=－3，

∴P(0，－3)．

∴y轴的负半轴上存在点P(0，－3)，使△PEF的内心在y轴上．

28. (2011江苏淮安，26，10分)如图，已知二次函数y= -x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.

(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

[答案]解：(1)∵二次函数y= -x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，

∴0= -4²+4b+3，

解得b=，

∴此二次函数关系式为：y= -x²+x+3，

点B的坐标为B(0,3).

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下：

设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得

x²+ 3²=(4- x)²，

解得x=，

∴点P的坐标为P(,0).

即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.

27. (2011江西南昌，24，10分)将抛物线c₁：y=-x²+沿x轴翻折，得抛物线c₂,如图所示.

(1)请直接写出抛物线c₂的表达式.

(2)现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

备用图

[答案]解：(1)y=x²-.

(2)①令-x²+=0，得x₁=-1,x₂=1,则抛物线c₁与x轴的两个交点坐标为(-1，0)，(1，0).∴A(-1-m，0)，B(1+m,0).

当AD=AE时，如图①，(-1+m)-(-1-m)=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=

当AB=AE时，如图②，(1-m)-(-1-m)=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2.

∴当m=或2时，B，D是线段AE的三等分点.

②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M(-m，-).即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A(-1-m，0)，E(1+m，0)，∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m²+()²=[-(-1-m)]², ∴m=1.

∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

26. (2011四川宜宾,24，12分)已知抛物线的顶点是C(0，a)(a＞0,a为常数)，并经过点(2a,2a),点D(0，2a)为一定点．

⑴求含有常数a的抛物线的解析式；

⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；

⑶设过原点O的直线与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且,求a的值．

[答案]解：⑴设抛物线的解析式为

∵点D(2a，2a)在抛物线上， 　　

∴

∴抛物线的解析式为

⑵设抛物线上一点P(x,y)，过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在中，由勾股定理得：

∵　 ∴

∴

∴PD=PH.

⑶过B点BE⊥x轴，AF⊥y轴，

由⑵的结论：BE=DB　 AF=DA

∵DA=2DB　 ∴AF=2BE　 ∴AO=2BO

∴B是OA的中点

∵C是OD的中点

连接BC

∴

过B作BR⊥y轴，

∵BR⊥CD　 ∴CR=DR,　 ，

∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上

∴　 ∴

∵　 ∴　 ∴B(，)

AO=2OB, ∴

所以，

∴，　 ∵　 ∴

25. (2011四川广安，30，12分)如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A(-1．0)，B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax²+bx+c经过点D、M、N。

(1)求抛物线的解析式

(2)抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。

(3)设抛物线与x轴的另-个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的-个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。

[答案](1)解：由题意可得M(0．2)，N(-3．2)

　　　　　 ∴　

　　　　　 解得：

∴y=

(2)∵PA= PC　　　　 ∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过(-1．2)(1．0)　 所在的直线为y=－x+1

解得：

∴P₁()P₂()

(3)D为E关于对称轴x=1.5对称

　　 CD所在的直线y=－x+3

　　 ∴y_Q=4.5　　　　　 ∴Q(-1.5．4.5)

最大值为QC==