18．(1)解　由已知得

．　　(4分)

(2)证明　由(1)可　知　设

则

　　 　．

两式相减得+…+

　　 　　．　　 (9分)

(3)解　由(1)可知

则 =　

故有 =6．　 (14分)

17．解(I)+=(x,0)+(1,y)=(x+, y),

–=(x, 0)(1,y)= (x,– y).(+)(),　　　　　　

　 (+)·()=0,　 (x+)( x)+y·(y)=0,　　　

故P点的轨迹方程为．　　　　(6分)

(II)考虑方程组　 消去y，得(1–3k²)x²-6kmx-3m²-3=0　　　　 (*)

显然1-3k²0, =(6km)²-4(1-3k²)( -3m²-3)=12(m²+1-3k²)>0.

设x₁,x₂为方程*的两根，则x₁+x₂=，x₀=,　 y₀=kx₀+m=,

故AB中点M的坐标为(，),

线段AB的垂直平分线方程为y=(),

将D(0，–1)坐标代入，化简得　 4m=3k²1,

故m、k满足　 消去k²得　 m²4m>0, 解得 m<0或m>4.

又4m=3k²1>1, 　　故m(,0)(4,+)．　(12分)

16.(1)f₁(0)=2,a₁==,f_n+1(0)=f₁［f_n(0)］=,

a_n+1====－=－a_n,　　　　　　 4分

∴数列{a_n}是首项为,公比为－的等比数列，∴a_n=(－)^n－1.　　　　　　　　　　 6分

(2)T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+(2n－1)a_2n－1+2na_2n,

－T_2n=(－a₁)+(－)2a₂+(－)3a₃+…+(－)(2n－1)a_2n－1+(－)·2na_2n

=a₂+2a₃+…+(2n－1)a_2n－na_2n,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

两式相减得T_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+na_2n,

所以，T_2n=+n×(－)^2n－1=－(－)²ⁿ+(－)^2n－1, 　 10分

T_2n=－(－)²ⁿ+(－)^2n－1=(1－).　　 ∴9T_2n=1－,

Q_n=1－,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

当n=1时，2²ⁿ=4,(2n+1)²=9,∴9T_2n＜Q_n;

当n=2时，2²ⁿ=16,(2n+1)²=25,∴9T_2n＜Q_n;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 13分

当n≥3时，2²ⁿ=［(1+1)ⁿ］²

=(C+C+C+…+C)²＞(2n+1)²,∴9T_2n＞Q_n.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 14分

15.(1)设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0),　　　　　　　　 2分

由·=0，得(3，－)(x,)=0,又得y²=4x,　　　　　　　　　　　　　　 5分

由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,

所以，动点M的轨迹C是以(0，0)为顶点，以(1，0)为焦点的抛物线，除去原点. 6分

(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y²=4x,得k²x²+2(k²－2)x+k²=0,①　　　　　　 7分

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁,x₂是方程①的两个实根，∴x₁+x₂=－,x₁x₂=1,

所以，线段AB的中点坐标为(,),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－),　　　　　　　　　　　　　　 9分

令y=0,x₀=+1,所以点E的坐标为(+1,0)

因为△ABE为正三角形，所以点E(+1,0)到直线AB的距离等于｜AB｜,

而｜AB｜==·,　　　　　　　　　　　 10分

所以，=,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

解得k=±,得x₀=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

13．解析：(1)。，由根与系数的关系得，

　　　　　　 同法得f(

　　　 (2).证明：f^/(x)=而当x时，

　　　　　　　 2x²-tx-2=2(x-故当x时, f^/(x)≥0,

　　　　　　　　 　　 函数f(x)在[上是增函数。

　　 (3)。证明：

　　　　　 , 同理.

　　　　　 又f(两式相加得:

　　　　 即

　　　　 而由(1)，f(　 且f(,

　　　　 　　 .

14(I)当时,,

,又{a_n}各项均为正数,.数列是等差数列,

(II) ,若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又，. 的最大值是.

12．(1)由题意，有x²－2mx+2m²+＞0对任意的x∈R恒成立 所以△＝4m²－4(2m²+)＜0 即－m²－＜0 ∴＞0 由于分子恒大于0，只需m²－3＞0即可 所以m＜－或m＞ ∴M＝{m|m＜－或m＞}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分 (2)x²－2mx+2m²+＝(x－m)²+m²+≥m²+ 当且仅当x＝m时等号成立. 所以，题设对数函数的真数的最小值为m²+　　　　　　　　　　　　 ……7分 又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f(x)≥log₃(m²+) ∴当且仅当x＝m(m∈M)时，f(x)有最小值为log₃(m²+)　　　　　 ……10分 又当m∈M时，m²－3＞0 ∴m²+＝m²－3++3≥2+3＝9 当且仅当m²－3＝，即m＝±时， log₃(m²+)有最小值log₃(6+)＝log₃9＝2 ∴当x＝m＝±时，其函数有最小值2.

11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0 则OA的方程为y＝kx 由解得A()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分 又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－x 由解得B(2pk²，－2pk)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分 从而OA的中点为A'()，OB的中点为B'(pk²，－pk)　　　　　　　　 ……6分 所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为 x²+y²－＝0　　　　　　　　　　 ……① x²+y²－2pk²x+2pky＝0　　　　　　　　 ……②　　　　　　　　　　　　　 ……10分 ∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0 由①－②并化简得y＝(k－)x　　　　　　 ……③ 将③代入①，并化简得x(k²+－1)＝2p　 ……④ 由③④消去k，有x²+y²－2px＝0 ∴点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点).　　　　　　 ……13分

9．解：(Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0

∵该直线与圆相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分

故设双曲线C的方程为．

又双曲线C的一个焦点为

∴，．

∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分

(Ⅱ)由得．

令

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．

因此　 解得．

又AB中点为，

∴直线l的方程为．………………………………6分

令x=0，得．

∵，

∴

∴．………………………………………………8分

(Ⅲ)若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，

若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．

根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是

　 ①…………………………………………10分

由于点N是线段的中点，设，．

则，即．

代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分

10 解：(Ⅰ)因为．所以．……2分

令，得，即．……………4分

(Ⅱ)

又………………5分

两式相加

．

所以，………………7分

又．故数列是等差数列．………………9分

(Ⅲ)

………………10分

………………12分

所以……………………………………………………………………14分

8.(1)

　 (2)

7、解:(1)设动点的坐标为P(x,y),则H(0,y),,=(－2－x,－y)

=(2－x,－y)

∴·=(－2－x,－y)·(2－x,－y)=

由题意得∣PH∣2=2··

即

即，所求点P的轨迹为椭圆

(2)由已知求得N(2，0)关于直线x+y=1的对称点E(1，－1)，则∣QE∣=∣QN∣

双曲线的C实轴长2a=(当且仅当Q、E、M共线时取“=”)，此时，实轴长2a最大为

所以，双曲线C的实半轴长a=

又

∴双曲线C的方程式为