3．抛物线

(1)抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(,0)，它的准线方程是 ；

(2)抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性	轴	轴	轴	轴
顶点
离心率

说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；(3)注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。

2．双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线()。

注意：①(*)式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支(含的一支)；时为双曲线的另一支(含的一支)；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

	椭　　　　　　　　 圆	双　　　　 曲　　　　 线
定义
方程
焦点
注意：如何有方程确定焦点的位置！

(2)双曲线的性质

①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1)注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点)，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2)实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

2)等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为： ；(2)渐近线互相垂直

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3)注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上

⑥注意与的区别：三个量中不同(互换)相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

1．椭圆

(1)椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有

椭圆的标准方程为：()(焦点在x轴上)或()(焦点在y轴上)。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆(，，)当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆

(2)椭圆的性质

①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2-3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法

对于本讲内容来讲，预测2010年：

(1)1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

(2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。

本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。

在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：

(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；

(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍(m＞0)”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；

(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；

(4)首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终

题型1：直线的倾斜角

例1．(2008四川理，4)．

直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为( A )

(A)　(B)　(C)　(D)

[解]：∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰(C)，(D)

　　　 又∵将向右平移1个单位得，即　 故选A；

[点评]：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

[突破]：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；

点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力

例2．(上海文，18)过圆的圆心，作直线分

别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分(如图)，

若这四部分图形面积满足则直线AB有(　 )

(A) 0条　　 (B) 1条　　 (C)　 2条　　 (D) 3条

[解析]由已知，得：，第II，IV部分的面

积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线

AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线

AB只有一条，故选B。

[答案]B

题型2：斜率公式及应用

例3．全国Ⅰ文16)若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是

　①　 ②　 ③　 ④　　 ⑤　　

其中正确答案的序号是　　　　　 .(写出所有正确答案的序号)

[解析]解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。

[答案]①⑤

(2)已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log₂x的图象交于C、D两点。

(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上。

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标

　　　　 解析：(1)如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分(包括边界)，而表示点(x，y)与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。

　 点评：本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。

(2)证明：设A、B的横坐标分别为x₁，x₂，由题设知x₁＞1，x₂＞1，点A(x₁，log₈x₁)，B(x₂，log₈x₂).

因为A、B在过点O的直线上，所以，

又点C、D的坐标分别为(x₁，log₂x₁)，(x₂，log₂x₂)

由于log₂x₁＝＝3log₈x₁，log₂x₂＝＝3log₈x₂，

所以OC的斜率和OD的斜率分别为

。

由此得k_OC＝k_OD，即O、C、D在同一条直线上。

由BC平行于x轴，有log₂x₁＝log₈x₂，解得　 x₂＝x₁³

将其代入，得x₁³log₈x₁＝3x₁log₈x₁.

由于x₁＞1，知log₈x₁≠0，故x₁³＝3x₁，x₁＝，于是点A的坐标为(，log₈).

点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力

　　　　 点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。

题型3：直线方程

例4．已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。

　　 解析：(1)将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。

　　 (2)因为点(2，1)、(0，)均满足方程，故它们为直线上的两点。

　　 由两点式方程得：

　　 即

　　 (3)由知：直线在y轴上的截距

　　 又令，得

　　 故直线的截距式方程

点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。

例5．直线经过点P(-5，-4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。

　　 解析：设所求直线的方程为，

　　 ∵直线过点P(-5，-4)，，即。

　　 又由已知有，即，

　　 解方程组，得：或

　　 故所求直线的方程为：，或。

　　 即，或

　　 点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：

　　 (1)从点的坐标或中直接观察出来；

　　 (2)由斜截式或截距式方程确定截距；

(3)在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。

总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

题型3：直线方程综合问题

例5．(重庆理，1)直线与圆的位置关系为(　　 )

A．相切　 　　　 B．相交但直线不过圆心　　　　 C．直线过圆心　　　　　　　　　　　 D．相离

[解析]圆心为到直线，即的距离，而，选B。

[答案]B

[点评]：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；

[突破]：数形结合，使用点到直线的距离距离公式

例6．(天津文，14)若圆与圆的公共弦长为，则a=________.

[解析]由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，

利用圆心(0，0)到直线的距离d为，解得a=1.

[答案]1

(2)已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(Ⅱ)设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点。

(i)问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

(ii)当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。

(Ⅰ)解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x.

解法二：设M(x，y)，依题意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=。化简得：y²=4x。

(Ⅱ)(i)由题意得，直线AB的方程为y=－(x－1).

由消y得3x²－10x+3=0，

解得x₁=，x₂=3。

所以A点坐标为()，B点坐标为(3，－2)，

|AB|=x₁+x₂+2=。

假设存在点C(－1，y)，使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

由①－②得4²+(y+2)²=()²+(y－)²，

解得y=－。

但y=－不符合①，

所以由①，②组成的方程组无解

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。

(ii)解法一：设C(－1，y)使△ABC成钝角三角形，由得y=2，

即当点C的坐标为(－1，2)时，A、B、C三点共线，故y≠2。

又|AC|²=(－1－)²+(y－)²=+y²，

|BC|²=(3+1)²+(y+2)²=28+4y+y²，

|AB|²=()²=。

当∠CAB为钝角时，cosA=<0。

即|BC|² >|AC|²+|AB|²，即，

即y>时，∠CAB为钝角

当|AC|²>|BC|²+|AB|²，即，

即y<－时，∠CBA为钝角。

又|AB|²>|AC|²+|BC|²，即，

即。

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。

解法二：以AB为直径的圆的方程为(x－)²+(y+)²=()²。

圆心()到直线l：x=－1的距离为，

所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G(－1，－)。

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角

过点A且与AB垂直的直线方程为。

令x=－1得y=。

过点B且与AB垂直的直线方程为y+2(x－3)。

令x=－1得y=－。

又由解得y=2，

所以，当点C的坐标为(－1，2)时，A、B、C三点共线，不构成三角形。

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－或y>(y≠2)。

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。

题型4：圆的方程

例7．(1)已知△ABC的三个项点坐标分别是A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)，求△ABC外接圆的方程。

　　 分析：如果设圆的标准方程，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。

解法一：设所求圆的方程是　　　　　　　　 ①

因为A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程①，于是

　 可解得

所以△ABC的外接圆的方程是。

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。

∵，，线段AB的中点为(5，－1)，线段BC的中点为，

图4－1

∴AB的垂直平分线方程为，　　 ①

BC的垂直平分线方程　　　　　　　 ②

解由①②联立的方程组可得

∴△ABC外接圆的圆心为E(1，－3)，

半径。

故△ABC外接圆的方程是．

点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质

(2)求过A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程．现在再尝试用圆的一般方程求解(解法三)，可以比较一下哪种方法简捷。

解析：设圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　 ①

因为三点A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组：

　　 ，解得。

所以，圆的方程是。

圆心是坐标(1，－3)，半径为。

点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些

例8．若方程。

　　 (1)当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆。

　　 (2)当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。

　 解析：(1)由，

　　 ，

　　 当且仅当时，

　　 即时，给定的方程表示一个圆。

　　 (2)设圆心坐标为，则(为参数)。

消去参数，为所求圆心轨迹方程。

点评：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。

题型5：圆的综合问题

例9．如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A(0，a)，B(0，b)()，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值

　　　　 解析：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中由正弦定理，有　　　 。

　　　　 其中R是△ABC的外接圆的半径。

　　　　 可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值

　　　　 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。

　　　　 由切割线定理，得：

　　　　 所以 ，即点C的坐标为时，∠ACB取得最大值。

点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。

例10．已知⊙O′过定点A(0，p)(p>0)，圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ。

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；

(2)求+的最大值，并求取得最大值的θ值。

解析：设O′(x₀，y₀)，则x₀²=2py₀ (y₀≥0)，⊙O′的半径|O′A|=，⊙O′的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-p)²。令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²－2x₀x+x₀²－p²=0，解得x_M=x₀ – p，x_N=x₀+p，∴|MN|=| x_N – x_M|=2p为定值。

(2)∵M(x₀-p，0) ，N(x₀+p，0)　

　∴d₁=，d₂=，则d₁²+d₂²=4p²+2x₀²，d₁d₂=，

∴+===2=2≤2=2。

当且仅当x₀²=2p²，即x=±p，y₀=p时等号成立，∴+的最大值为2。

此时|O′B|=|MB|=|NB|(B为MN中点)，又O′M=O′N，

∴△O′MN为等腰直角三角形，∠MO′N=90°，则θ=∠MO′N=45°。

点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法

(全国Ⅱ理16)已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为　　　　　　　　 。

[解析]设圆心到的距离分别为,则.

四边形的面积

[答案]5

5．圆的方程

圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。

圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。

二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：①、项项的系数相同且不为0，即；②、没有xy项，即B=0；③、。