22．(2010·黄冈市高三12月份质检)(本小题满分14分)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：

①对任意x∈[0,1]，总有f(x)≥2；

②f(1)＝3；

③若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则有f(x₁+x₂)＝f(x₁)+f(x₂)－2.

(1)求f(0)的值；

(2)试求f(x)的最大值；

(3)设数列{a_n}的前n项为S_n，满足a₁＝1，

S_n＝－(a_n－3)，n∈N^*.

求证：f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_n)＝+2n－.

解析：(1)令x₁＝x₂＝0，则f(0)＝2f(0)－2，∴f(0)＝2.

(2)任取x₁，x₂∈[0,1]且x₁＜x₂，则0＜x₂－x₁≤1，

∴f(x₂－x₁)≥2.

∴f(x₂)＝f(x₂－x₁+x₁)＝f(x₂－x₁)+f(x₁)－2≥

f(x₁)，∴f(x)在[0,1]上为增函数，

∴f(x)的最大值为f(1)＝3.

(3)∵S_n＝－(a_n－3)(n∈N^*)，

∴S_n－1＝－(a_n－1－3)(n≥2)，

∴a_n＝－a_n+a_n－1(n≥2)，

∴a_n＝a_n－1(n≥2)，又∵a₁＝1≠0，

∴＝(n≥2)，

∴数列{a_n}是以1为首项，公比为的等比数列，

∴a_n＝.

f(a_n+1)＝f()＝f(++)＝3f()－4，

∴f()＝f()+，

∴f()－2＝[f()－2]，

∴{f()－2}是以f()－2为首项，公比为的等比数列．

∴f()－2＝(f()－2)·()^n－1，

∴f(1)＝f(++)＝3f()－4，

∴f()＝，

∴f()－2＝()ⁿ，即f()＝()ⁿ+2.

∴f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_n)

＝f(1)+f()+f()+…+f()

＝2++2++2…++2

＝(1+++…+)+2n＝+2n－.

21．(本小题满分12分)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝，记b_n＝a_2n，n∈N^*.

(1)求a₂，a₃；

(2)求数列{b_n}的通项公式；

(3)求证S_2n+1＝a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1.

解析：(1)a₂＝，a₃＝－.

(2)当n≥2时，b_n＝a_2n＝a_(2n－1)+1＝a_2n－1+(2n－1)

＝[a_2n－2－2(2n－2)]+(2n－1)＝a_2(n－1)+1＝b_n－1+1

∴b_n－2＝(b_n－1－2)，又b₁－2＝a₂－2＝－，

∴b_n－2＝－·()^n－1＝－()ⁿ，即b_n＝2－()ⁿ.

(3)∵a_2n+1＝a_2n－4n＝b_n－4n

∴S_2n+1＝a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1

＝(a₂+a₄+…+a_2n)+(a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1)

＝(b₁+b₂+…+b_n)+[a₁+(b₁－4×1)+(b₂－4×2)+…+(b_n－4×n)]

＝a₁+2(b₁+b₂+…+b_n)－4×(1+2+…+n)

＝1+2(2n－)－4×

＝()^n－1－2n²+2n－1.

20．(本小题满分12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n＝(a_n－1)(n∈N^*)．

(1)求a₁，a₂；

(2)求证：数列{a_n}是等比数列．

解析：(1)由S_n＝(a_n－1)，得

a₁＝(a₁－1)，所以a₁＝－.

又S₂＝(a₂－1)，

即a₁+a₂＝(a₂－1)，得a₂＝.

(2)证明：当n＞1时，

a_n＝S_n－S_n－1＝(a_n－1)－(a_n－1－1)，得＝－，故{a_n}是首项为－，公比为－的等比数列(n∈N^*)．

19．(2009·辽宁，17)(本小题满分12分)等比数列{a_n}的前n项和为S_n.已知S₁，S₃，S₂成等差数列．

(1)求{a_n}的公比q；

(2)若a₁－a₃＝3，求S_n.

解析：(1)依题意有a₁+(a₁+a₁q)＝2(a₁+a₁q+a₁q²)，

由于a₁≠0，故2q²+q＝0.又q≠0，从而q＝－.

(2)由已知可得a₁－a₁(－)²＝3，故a₁＝4.

从而S_n＝＝[1－(－)ⁿ]．

18．(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m.那么开始运动几分钟后第二次相遇？

解析：(1)设nmin后第1次相遇，

依题意，有2n++5n＝70，

整理得n²+13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．

故第1次相遇是在开始运动后7min.

(2)设nmin后第2次相遇，

依题意，有2n++5n＝3×70，

整理得n²+13n－6×70＝0，

解得n＝15，n＝－28(舍去)．

故第2次相遇是在开始运动后15min.

17．(2009·山东曲阜测试)(本小题满分10分)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄＝10，S₄＝22.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝2a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n.

解：(1)设{a_n}的首项为a，公差为d，由a₄＝10，S₄＝22得

解得a₁＝1，d＝3，

∴a_n＝1+3(n－1)＝3n－2.

(2)b_n＝2a_n＝2^3n－2＝2×8^n－1，则数列{b_n}是以2为首项，8为公比的等比数列，它的前n项和

T_n＝＝(8ⁿ－1)．

16．若⊗表示一种运算，且有如下表示：1⊗1＝2、m⊗n＝k、(m+1)⊗n＝k－1、m⊗(n+1)＝k+2，则2007⊗2007＝________.

答案：2008

解析：由m⊗(n+1)－m⊗n＝k+2－k＝2，取m＝1，可得数列{1⊗n}是以1⊗1＝2为首项，以2为公差的等差数列，因此1⊗2007＝2+(2007－1)×2＝4014.又由(m+1)⊗n－m⊗n＝k－1－k＝－1，取n＝2007，得数列{m⊗2007}是以1⊗2007＝4014为首项，以－1为公差的等差数列，于是2007⊗2007＝4014+(2007－1)×(－1)＝2008.

15．数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a_n＝5S_n－3(n∈N^*)，则a_n＝__________.

答案：(－)^n－1

解析：由a_n＝5S_n－3得S_n＝

当n≥2时S_n－1＝，

∴a_n＝，即＝－

又当n＝1时，a₁＝5a₁－3，

∴a₁＝，则a_n＝(－)^n－1.

14．(2009·北京宣武)在等比数列{a_n}中，a₁+a₃＝，a₄+a₆＝10，则a₄＝________.

答案：2

解析：由题意可得

解得所以a₄＝×2³＝2.

13．等差数列{a_n}中，a₄+a₅＝8，a₉+a₁₀＝28，则a₁等于________．

答案：－3

解析：由a₄+a₅＝2a₁+7d＝8，a₉+a₁₀＝2a₁+17d＝28，

解得a₁＝－3.