例3已知三条直线，，，能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是．若能，求出点坐标；若不能，说明理由．

　分析：求解本题所必需的工具是两个公式：平行直线间的距离公式及点到直线的距离公式．然后再根据①，②，③建立起来的方程组求解．

　解：设存在点，且点在上，

　由点满足条件②，得，

　解得或．

　或．

　由点满足条件③，得，

　即．

　或不可能，

　联立方程组解得

即为所求．

　例4　 设动点的坐标分别为和，且满足，，如果点在直线上移动，点也在直线上移动，这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

　分析：“点在直线上移动”可以理解为直线既是由点运动而成的，又是由点运动而成的，即直线是经过两点的直线．这样，先设出直线的方程，借助坐标变换，再由两直线重合的条件利用待定系数法求解．

　解：假设存在这样的直线，设其方程为，

　点都在上移动，于是有，．

　又，，

　，即．

　此直线与直线重合，则有，

　解得或

　直线的方程为或．

　点评：上述两题都属于“存在型探索题”．解这类问题的一般方法是假设存在，利用相关知识加以推理．若推出矛盾，则假设不成立；否则，假设的命题成立．

　例1　 将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，且点与点重合，则　　　．

　解析：折叠之后点与点重合，

　两点关于直线对称．

　点关于直线的对称点为．

．

　例2　 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴，轴的正半轴上，点与坐标原点重合(如图所示)．将矩形折叠，使点落在线段上．若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程．

　解：①当时，点与点重合，折痕所在的直线方程为；

　②当时，设将矩形折叠后落在线段上的点为，

　所以与关于折痕所在的直线对称，故有，解得．

　故点坐标为．

　从而折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点)为．

　所以折痕所在的直线方程为，即．

　由①，②得折痕所在的直线方程为时，；时，．

点评：上述两题以“折叠”为载体，考查了直线方程关于直线对称或者是点对称等知识，是一类情景新颖的活题，给直线方程问题又增添了“动”的活力．

例5　已知实数满足，试求的最大值和最小值．

分析：利用的几何意义：连结定点与动点的直线的斜率，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化运算过程．

解：如图4，由的几何意义可知，它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．

易知，

由已知，可得．

，

故的最大值是8，最小值是．

评注：巧妙利用斜率公式，借助数形结合直观求解，收到事半功倍的效果，此题还可利用后边所学内容，用代数的方法求解．

例4　　　　 如果三点在同一条直线上，试确定常数的值．

　分析：如果三点在同一条直线上，则直线的斜率与直线的斜率相等．

　解：由于三点所在直线不可能垂直于轴，

　因此设直线的斜率分别为．

　由斜率公式，得，．

　在同一条直线上，．

　，即．

　解得，或．

评注：两直线的斜率相等，则三点共线；反过来，若三点共线，则直线的斜率相等(斜率存在时)，或都不存在．

例3　已知函数，且，则，，的大小关系为(　)

A．　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　 D．

分析：该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务的特点，由此联想到利用斜率进行求解．

解：作出函数的大致图象(图3)．

由图(3)可知，曲线上各点与原点连线的斜率随的增大而减小．因为，所以．故选(B)．

例2　已知线段的两个端点，若直线与线段相交，求实数的取值范围．

分析：采用数形结合的方法，因为直线恒过一个定点，并且斜率为，则直线应落在定点与的连线之间，从而得出斜率所取的范围，即可确定的取值范围．

解：如图2，恒经过一定点，

的斜率，

的斜率．

若直线与线段相交，

则．

故的取值范围是．

评注：数形结合是求直线与直线及直线与平面曲线位置关系问题的好方法，它直观简明，计算量小，是解答小题的首选方法，也是解答大题的重要方法．

例1　　　　 已知均为正数，且，求证：．

分析：观察所证不等式的左边，结构与斜率公式很相似，，

显然此式可看作点与点的连线的斜率．

解：如图1，，

点在第一象限，

且必位于直线的下方．

又，

点在第三象限，且必在上．

连结，则，．

直线的倾斜角大于直线的倾斜角，

，即有．

由于两个独立条件确定一条直线，因此，在求直线方程时，可根据直线系概念，先写出满足其中一个条件的直线系方程，然后用另一个条件求出直线系方程中的参数，即得我们所要求解的直线方程。平常实际教学中，直线系方程第一、第二和第三种常见类型我们用的比较多，而直线系方程第四种常见类型也有很好的用处。下面主要阐述直线系方程第四种常见类型的应用。

例1、已知三角形三边所在的直线方程分别为：，，，求边上的高所在的直线方程。

分析：此题解题方法比较多，常规方法计算较多，若引入直线系方程，则运算简便，解法精彩。

解析：设所求高所在的直线方程为，

即，

则由与垂直，

可得，解得，

所以所求高所在的直线方程为。

例2、求过直线与的交点，且和、等距离的直线方程。

分析：此题解题常规方法为设点斜式直线方程，但这样默认了所求直线的斜率存在的情况，往往遗漏了斜率不存在时的直线方程。若引入对应的直线系方程，则避免了这种情况的发生，解法非常巧妙。

解析：设所求直线方程为，

即，

由点、到所求直线等距离，可得

，

整理可得，

解得或，

所以所求高所在的直线方程为或。

4、过两条已知直线：和：的交点的直线系方程是：(是参数，当时，方程变为，恰好表示直线；当时，方程表示过直线和的交点，但不含直线和的任一条直线)。

3、垂直于已经直线的直线系方程是：(是参数)；