5．(2009·辽宁模拟)不等式＜x的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(1，+∞)

B．(－∞，－1)∪(1，+∞)

C．(－1,0)∪(1，+∞)

D．(－∞，－1)∪(0,1)

答案：C

解析：＜x⇔＞0.

用标根法(如图)可知－1＜x＜0或x＞1.

4．当x∈R⁺时，下列函数中，最小值为2的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．y＝x²－2x+4　　　　　 B．y＝x+

C．y＝+　 　　　　　 D．y＝x+

答案：D

3．(2009·成都市第一次诊断性检测)下列四个命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若a、b∈R，则|a|－|b|＜|a+b|

B．若a、b∈R，则|a－b|＜|a|+|b|

C．若实数a、b满足|a－b|＝|a|+|b|，则ab≤0

D．若实数a、b满足|a|－|b|＜|a+b|，则ab＜0

答案：C

2．(2010·保定市摸底考试)已知a∈R，则“a>2\”是“a²>2a\”的　　　　　　　　　　 (　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：由a²>2a得a(a－2)>0即a>2或a<0，因此a>2是a²>2a的充分不必要条件，故选A.

1．(2009·四川，7)已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的

(　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：∵a－c＞b－d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒/ a－c＞b－d.例如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c＜b－d.故选B.

16．已知f(x)的反函数f^－1(x)＝log₂.

(1)求f(x)的解析式．

(2)解不等式1－f(x)>.

解析：(1)由f^－1(x)＝log₂得f(x)＝

由于＞0，∴－1＜x＜1，

∴log₂∈R，

故y＝f(x)＝　(x∈R)．

(2)1－f(x)＝1－＝，

由1－f(x)＞得＞，

变形为2＞解得x＜0或x＞log₂，

故原不等式解集为{x|x＜0或x＞log₂}．

15．已知函数f(x)＝a·2^x+b的图象经过点A(1，)，B(2，)，f^－1(x)是函数f(x)的反函数．

(1)求a，b的值；

(2)若函数g(x)＝2f^－1(x²)+2，试确定g(x)的单调递减区间．

解析：(1)由函数f(x)的图象过A、B两点得

　　 解得a＝b＝.

(2)由(1)得f(x)＝(2^x+1)，

∴f^－1(x)＝log₂(2x－1)(x>)，

∴g(x)＝2f^－1(x²)+2＝2log₂(2x²－1)+2＝2x²+1，

∴此函数的图象是开口向上，对称轴是x＝0的抛物线．

又∵2x²－1>0，∴x<－或x>，

∴g(x)的单调递减区间是(－∞，－)．

14．已知函数f(x)＝，满足f(c²)＝.

(1)求常数c的值；

(2)解不等式f(x)>+1.

解析：(1)因为0<c<1，所以c²<c.

由f(c²)＝，即c³+1＝，c＝.

(2)由(1)得f(x)＝

由f(x)>+1，得当0<x<时，解得<x<；

当≤x<1时，解得≤x<，

所以f(x)>+1的解集为{x|<x<}．

13．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a⁴，a²+3a}，且a，k∈N，x∈A，y∈B，f：x?y＝3x+1是A到B的一个函数，求a，k的值．

解析：由f：x?y＝3x+1，x∈A，y∈B得：

(Ⅰ)

或(Ⅱ)

∵a∈N，k∈N，

∴(Ⅰ)无解，解(Ⅱ)得：

(舍去)或

∴当a＝2，k＝5时，A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,16,10}．

总结评述：定义是研究的结果，概念是知识的基础，由映射的概念知1?4,2?7，故3，k只能按对应法则对应a⁴或a²+3a，故应分两种情况讨论．

12．设函数y＝f(x)存在反函数y＝f^－1(x)，且函数y＝x－f(x)的图象过点(1,2)，则函数y＝f^－1(x)－x的图象一定过点________．

答案：(－1,2)

解析：由题意得1－f(1)＝2，即f(1)＝－1，因此有f^－1(－1)＝1，f^－1(－1)－(－1)＝1－(－1)＝2，即函数y＝f^－1(x)－x的图象一定过点(－1,2)．