1、　 设全集，集合，集合，则的真子集共有

　　　　　 个。

2、　 二次函数、二次不等式、二次方程的关系。

[例题]

例1、如果函数在区间上有最小值，那么实数的值为()

　 A、2　 B、　 C、　 D、

例2、已知二次函数的最大值为3，求的值。

例3、 二次函数且时，当时，恒成立；

　(1)求之间的关系；

　(2)当时，是否存在实数，使得在区间上是单调函数？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由。

例4、设二次函数，方程的两根为，满足；

　(1)当时，证明：

　(2)设函数的图象关于直线对称，证明：。

[练习]1、二次函数

　(I)用定义证明：当时，在上是减函数；

(II)当时，在上是否存在一个使得；

(III)若且上，恒成立，求的取值范围。

集合

[基本知识]

1、　 二次函数的图象和性质；

20．当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：

(1)由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；

(2)由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；

(3)第n年时，兔子数量用表示，狐狸数量用表示；

(4)初始时刻(即第0年)，兔子数量有只，狐狸数量有只。

请用所学知识解决如下问题：

(1)列出兔子与狐狸的生态模型；　　 (2)求出、关于n的关系式；

(3)讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。

解：⑴……………………4’

　　　　 ⑵设，　

∴=……=

又矩阵M的特征多项式　

=

令得：

特征值对应的一个特征向量为

特征值对应的一个特征向量为……………………6’

且

∴=

∴………………………………14’

⑶当n越来越大时，越来越接近于0，,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……2’

19．在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

(Ⅰ)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．

解：(Ⅰ)、可能的取值为、、，

　 ，， ，且当或时，

因此，随机变量的最大值为． 有放回抽两张卡片的所有情况有种，

　．

答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为．　

(Ⅱ)的所有取值为．

时，只有这一种情况，

　时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，．　　　　　　

则随机变量的分布列为：

因此，数学期望．

18．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．

(Ⅰ)试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

(Ⅱ)当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁―EF―A的余弦值以及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

解：(1)以A为原点，直线AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为1，且，则

于是

由

于是，可解得

所以当点F是CD的中点时，

(2)当时，F是CD的中点，

平面AEF的一个法向量为

而在平面C₁EF中，

所以平面C₁EF的一个法向量为

　　 ，　　　

又因为当把,都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF，而指向平面C₁EF

故二面角C₁―EF―A的大小为

又, , 所以

BA₁与平面C₁EF所成的角的大小为．

17．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内.

(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

　 (3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

解：(1)C₅²A_­5⁴=1200(种)　　　　　　　　　 ……4分

(2)A₅⁵-1=119(种)　　　　　　　　　　　 ……8分

(3)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种

第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种

第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种

第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2C₅²=20种

∴ 满足条件的放法数为：

　 1+10+20=31(种)　　　　　　　　　　 ……14分

16．函数数列满足：，

(1)求；

(2)猜想的表达式，并证明你的结论。

解：⑴…………2’

　　　　　 …………2’

　　　 ⑵猜想：……………………3’

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，，已知，显然成立………………1’

②假设当时 ，猜想成立，即

则当时，

……3’

即对时，猜想也成立。

结合①②可知：猜想对一切都成立。………………2’

15．设虚数z₁,z₂，满足.

(1)若z₁,z₂又是一个实系数一元二次方程的两根，求z₁, z₂．

(2)若z₁=1+mi(i为虚数单位，m∈R), ,复数w=z₂+3,求|w|的取值范围．

解：(1)∵z₁, z₂是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，

可设z₁=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z₂=a－bi,

由 得(a+bi)²=a－bi　 即： a²－b²+2abi=a－bi

根据复数相等，　 ∵b≠0 解得： 　或　 　，

∴ 　或 　．

(2)由于 ，z₁=1+mi, w=z₂+3,　 ∴w=(1+mi)²+3=4－m²+2mi.

∴ ,

由于且m≠0, 可解得0<m²≤1,　 令m²=u, ,

在u∈(0,1)上，(u－2)²+12是减函数，∴.

14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为，则若把它推广到长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，试写出相应命题形式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

若长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁与BA₁，BB₁，BC所成的角分别为，则。.