1．(1998年全国高考)关于函数f(x)＝4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题:

①由f()＝f()＝0可得x₁－x₂必是π的整数倍；

②y＝f(x)的表达式可以改写成y＝4cos(2x－)；

③y＝f(x)的图像关于点(－，0)对称；

④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称.

其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)

3.　　 (1991年三南高考)已知函数f(x)＝ ⑴证明：f(x)在(－∞,+∞)上是增函数； ⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞

.

[答案与提示：1. 当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解；2.　 a的取值范围为，(2)可用数学归纳法证明；3. 略．]

2.　　 (1990年全国高考)设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2. ①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围； ②如果a∈(0，1)，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.

当时，，因此，若令，则

由，则可知：此时的取值范围为．

又时，．所以，函数的值域为．

所以，函数的值域为R．

(2)设，则=，利用与互为倒数，可得=，所以，．

所以，=，R．

　　　 (3)任取R，则==，所以，函数为奇函数．

　　　 任取，且，则由及指数函数的性质可知：

，，

所以，，即．

所以，在定义域内单调递增．

(4)由得：，即：

　　　 结合的单调性可知：上式等价于：，解之得：．

　　　 点评 ①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．

例2．已知函数，对定义域内的任意都有成立．

　　　 (1)求实数的值；

　　　 (2)若当时，的取值范围恰为，求实数的值．

讲解：(1)由及可得：

解之得：．

当时，函数无意义，所以，只有．

(2)时， ，其定义域为.

所以，或．

①若，则．

为研究时的值域，可考虑在上的单调性．下证在上单调递减．

任取，且，则

又，所以，，即．

所以，当，在上单调递减

由题：时，的取值范围恰为，所以，必有，解之得：(因为，所以舍去)

②若，则．又由于，所以，．

此时，同上可证在上单调递增(证明过程略)．

所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．

所以，在这种情况下，无解．

综上，符合题意的实数的值为，

点评　 本题(2)中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．

高考真题

1.　　 (1989年全国高考)已知a＞0且a≠1，试求使方程

log_a(x－ak)＝log_a2(x²－a²)有解的k的取值范围.

2.　　　 (1989年全国高考)设是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用表示区间(2k－1，2 k+1)，已知当时，. ①求在上的解析表达式； ②对自然数k，求集合＝{a|使方程＝ax在上有两个不相等的实根}

[答案与提示：1.增函数，证明略。2. ①当时，；②对自然数k，集合＝]

1.　　　　 (2002年北京春季高考)已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明。

3. (1993年全国高考)已知关于x的实系数二次方程x ² + ax +b =0有两个实数根a ,b. 证明:

(I ) 如果| a | < 2, | b | < 2, 那么2| a | < 4 + b且 | b | < 4 ;

(II) 如果2| a | < 4 + b 且 | b | < 4 , 那么| a | < 2 , | b | < 2 .

[答案与提示：1.不存在. 2.，在其中任取两数，其和为零的概率为；证明略. 3.略. ]

2.　　　　 (2001年上海高考)对任意一个非零复数，定义集合

(1)设是方程的一个根，用列举法表示集合. 若在中任取两个数，求其和为零的概率.

(2)设复数，求证：

1.　　　　 (1985年全国高考)设a,b是两个实数，A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数}，B={(x,y)│x=,m,y=3m²+15,m是整数}，C={(x,y)│x²+y²≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得

(1)(表示空集)；(2)(a,b)∈C同时成立.

12.(09湖州)南极科考队使用酒精温度计而不是水银温度计，是由于酒精的

A.沸点低　 B.密度小　 C.凝固点低　 D.比热大

答案：C

(09成都)．　 去年春节前后，我国南方部分地区遭遇了低温雨雪天气，某些地区的树枝上甚至出现了图3所示的“雾凇”。“雾凇”和霜的形成过程很相似，都是

A．水蒸气液化形成的　　　 B．水蒸气凝华形成的

C．小水珠凝固形成的　　　 D．小冰晶升华形成的

答案：B

(09河南)物理，留心观察皆学问。对以下现象解释正确的是　　　　

A．初冬季节，在家里洗澡时发现房间里充满“白气”，这些“白气”是水蒸气

B．在夏季的早晨看到足球场里的草叶上挂满了露珠，而到了初冬，露水不见了，却看到了薄薄的一层霜，有人认为霜是由露变成的

C．放在衣橱里的樟脑丸，时间久了会明显变小，是因为樟脑丸蒸发为气体跑掉了

D．把冰箱里的冻豆腐取出，冰化后，发现豆腐里有许多小孔，这是豆腐里的水先遇冷结冰，后又熔化成水形成的

答案：D

(09山东潍坊)．热现象在一年四季中随处可见，下列有关说法中正确的是

A．春天的早晨经常出现大雾，这是汽化现象

B．夏天揭开冰棒包装后会看到冰棒冒“白汽”，这是凝华现象

C．秋天的早晨花草上出现小的露珠，这是液化现象

D．初冬的早晨地面上会出现白色的霜，这是凝固现象

答案：C

(09山东临沂).清晨草叶上常挂有晶莹的露珠，这是由于夜间温度低，空气中的水蒸气________形成的，在阳光照射下这些露珠又会慢慢消失，是由于露珠发生了_______的缘故。

答案：液化　 汽化(蒸发)