1、  证明(x+1)ⁿ⁺¹+(x+2)^2n-1(n为正整数)能被x²+3x+3整除

则S_k+1=2^k+1-1+k+1≥2k²-1+k+1=2k²+k≥(k+1)²+(k+1)-1=P_k+1(事实上，要证2k²+k≥(k+1)²+(k+1)-1k²-2k-1≥0k≥1+，∵k≥4∴k≥1+成立 ∴S_k+1≥P_k+1)

由①、②知，n≥4时，S_n≥P_n

总之，当n=1及n≥5时，S_n>P_n；当n=2,4时，S_n=P_n；当n=3时，S_n<P_n

说明：用假设后，分析P(k+1)真时k满足的条件集合A，如果A={k|k≥t,t>n₀},需将假设修正为k≥t，从而第一步需多验证几个值，一直到t；如果A={k|k≤t}与k≥n₀总有相悖的值存在，此时，该题不能用数学归纳法证明。所以，数学归纳法是用来证明一些与自然数有关的命题的一种方法。

[补充习题]

②假设n=k(k≥4)时，命题成立，即S_k≥P_k2^k-1+k≥k²+k-12^k≥k²,

例3、f(k)表示关于x的不等式log₂x+log₂(3×2^k-1-x)≥2k-1(k∈N^*)的解集中整数解的个数

(1)  求f(k)的解析式

(2)  求S_n=f(1)+f(2)+……+f(n)

(3)  令P_n=n²+n-1,比较S_n与P_n的大小

解：(1)原不等式表示为log₂[x(3×2^k-1-x)]≥2k-1,x²-3×2^k-1x+2^2k-1≤0，2^k-1≤x≤2^k,f(2)=2^k-2^k-1+1

=2^k-1+1

(2)S_n=2ⁿ-1+n

(3)S₁=2,P₁=1,S₁>P₁;  S₂=5,P₂=5,S₂=P₂;   S₃=10,P₃=11,S₃<P₃;S₄=19,P₄=19,S₄=P₄; S₅=36,P₅=29,S₅>P₅

猜想，n≥4时，S_n≥P_n

证明：①由上验证，n=4时，命题成立

例2、平面上有n条线段，任何两条直线都相交，任何三条不过同一点，问：这n条直线将平面分成多少个部分？

说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。

练习：教材P90---练习3

练习2：求证: 能被整除（n∈N⁺）

例1、设n为正整数，f(n)=5ⁿ+2×3ⁿ+1   (1)计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，并求其最大公约数；(2)猜想f(n)的最大公约数，并证明

通过此例主要说明在“计算――猜想――证明”这一完整的思路中，证明最常用的方法是数学归纳法。

练习1：求数列{n³+5n}的最大公约数，并证明

1、；   2、P(0)、P(1)、P(2)、P(3)、P(4)；  3、a_n=

              第二课时  数学归纳法证明问题的题型

[教学目标]

[教学难点、重点]题型

[教学过程]

3、已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n=3^n-1+a_n-1(n≥2)，通过计算a₂,a₃,猜想a_n通项公式，并证明

[补充题答案]

2、P(n)是关于自然数的命题，且P(n)真P(n+1)真，若P(4)假，则一定假的有_________