思考1：一个复数z，什么情况下是实数？(=z)

思考2：在复数范围内，你能将x²+y²分解因式吗？（x²+y²=(x+yi((x-yi))

说明：将a-bi称a+bi的共轭复数，记作=a-bi

例1、计算求．

此例的解答可由学生自己完成．（a²+b²）

思考：a>0时，方程x²+a=0在复数范围内的解是什么？(±i)

3、复数的乘法：．

指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式．注意i²=-1

复数乘法也满足交换律、结合律以及分配律．

练习教材P108---2

  2、复数减法怎么办？实数当中，减法是加法的逆运算，即a+b=c,b称c与a的差，记作c-a

  同理，对于复数，c+di+(x+yi)=a+bi,x+yi也称a+bi与c+di的差，记作(a+bi)-(c+di)

由加法定义，c+x=a,d+y=b,解得x=a-c,y=b-d,于是a+bi-(c+di)=(a-c)+(c-d)i两个复数的差仍然是一个复数

  你能总结出复数加减运算的一般规律吗？

两个复数相加减，就是把他们的实部和虚部分别进行加减

 练习：教材P108----1

1、复数的加法与多项式加法类似：a+bi+(c+di)=(a+c)+(c+d)i两个复数的和仍然是一个复数

  容易验证：复数的加法满足交换律和结合律，即：z₁+z₂=z₂+z₁,(z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)

3.2复数的四则运算（1）――加减与乘法

[教学目标]

[教学重点]复数的加、减、乘运算

[教学难点]复数范围内分解因式

[教学过程]

人们最早在研究方程时，认为x²+1=0之类的方程必定无解，由于习惯用历史来解释现实与告诉未来，所以人们也就习惯地将“其有解”视作是永不可能的。1545年，意大利的Cardano在其著作《大术》中讨论了这样的问题：“是否可以将十分成二部分，使它们的积等于40”，用现在的话即解方程x²-10x+40=0，他大胆提出了两个解5±(只不过当时不这样记)，Cardano将之称作“诡辩量”，既然是诡辩量，自然在当时也将之视作一种无聊的游戏（它标志着虚数的诞生），正是这一游戏，27年后，意大利的Bembeli在其《代数学》中，用之完整地得到了一元三次方程的求根公式。

但，人们的观念并没有随之带来变化。如：Descartes在1637年的《几何学》中，认为它非实在，故起名为imaginary  number（虚数）！大科学家Newton也不承认它，继续把它当作一种无聊的游戏；Leibniz更是发扬这一传统思想，称：虚数是介于存在与不存在间的无聊的两栖物。

至1747年，法国的D^/Alembert才将虚数与实数并列看待，并将实数与虚数统称为数（当时的实数实质指的是有理数）；1777年，瑞士的Euler系统地建立了复数理论，并首次用i表示虚数单位，发现了复指数函数与三角函数间关系；至1801年，德国的Guass系统地使用了i这个记号及运算法则，将实数与虚数统称复数，并将复数与几何建立了对应关系，复数理论走向了应用。

五，计算机的问世，使“二进制”这一古文明复活

自然界中存在着大量截然相反的状态，如：有与无、大与小、高与底、通与断，既然用十个手指可以用来表示十进制数，那么用两手或两脚也可以记数，这样就形成了二进制记数法。在我国周朝的《易经》中就记载了用不断的横“―”和断开的横“--”表示两种相反的状态，如果将“―”记作现在的1，而“--”视作现在的0，其实就形成了现在的二进制，根据各种文献考证，这一符号诞生于原始社会伏羲时代的“八卦”。但由于二进制表示数很冗长，人们并没有在数学中引起重视，在我国，它却成为算命的理论基础壮大起来。

1698年，德国的Leibniz对中国传去的“八卦”产生了浓厚的兴趣，他预言：这将对科学研究非常重要，并提出了用机器代替人进行逻辑思维活动的设想，为此他还写了一封热情洋溢的信给当时的康熙皇帝，希望与中国学者共同研究八卦，进行文化交流。但当时的“天朝大国”闭关自守，对之自然是“不屑一顾”。

至1847年，英国的Boole-George发表了《逻辑学的数学分析》，紧接着于1854年他又发表《思维规律》，建立了逻辑代数（俗称Boole代数），但这一理论并没有引起人们的重视；直到1936年，美国麻省理工学院的Shannon将逻辑代数用于电子电路后，人们开始认识到：它是电路设计的理论根据和主要分析手段，紧接着于1946年，第一台电子计算机问世，二进制被用来作为计算机的基本数而引起人们的重视；又为解决它表示数太过冗长的致命弱点，开发出八进制、十六进制等等。这样，数冲破了十进制原有的包围，形成了应用数学的燎原之势。

总之，数的发展历程基本呈现：出现早、承认慢、系统理论互关联的特点。

附录      数的发展历程一览表

年代

对应中国年代

国家

主       要         成            就

旧石器晚期

伏羲时代

中国

八卦图出现，标志着数与二进制的诞生

-4200~-2200

黄帝族成契时代~唐尧起时期

中国

象形字诞生，有《洛书》《河图》数学文献

巴比伦

出现以石记数及六十进位制

埃及

象形字出现

-1850

夏槐王朝

埃及

纸草文书中有了分数记载

-1650

夏发王朝

埃及

Ahmes纸草文书中，将分数分子化为1进行计算

-600

周定王5年

巴比伦

泥版文书中以“□”代表零

-400左右

周安王2年

希腊

Hippasus提出了有无理数存在

-300

周赦王15年

希腊

Euclid《几何原本》用近似有理数取代无理数

-100

汉武帝天汉元年

中国

《周髀算经》记载了具体分数的计算

月1世纪

西汉

美国

印第安人马雅族用“□”表示零

100-200

东汉

中国

《九章算术》《孙子算经》含有了分数的运算法则及负数的概念

850

唐宣宗大中4年

印度

Mahavira写成《算术精要》，提出零的运算法则

920

梁末帝贞明5年，契丹太祖神册5年

叙利亚

Al-Battanl引入小数

1299

元成宗大德3年

中国

朱世杰《算学启蒙》有了负数的运算法则

1522

明世宗嘉靖元年

英国

Tonstall首用阿拉伯数字

1545

明世宗嘉靖24年

意大利

Cardana引入诡辩量（复数）

1572

明隆庆6年

意大利

Bcmbelli用复数得出一元三次方程的通解

1585

明万历13年

比利时

Stevin《论十进制》出版

1620

明泰昌元年

荷兰

Girard用“-”表示负数

1637

清崇德2年，明崇祯10年

法

Descartes命名虚数imaginary  number

1689

清康熙28年

德

Leibniz指出八卦对科学研究很重要，提出了用机器代替人进行逻辑思维活动的设想

1747

清乾隆12年

法

D^/Alem将有理数与虚数同样看待

1777

清乾隆42年

瑞士

Euler创立复数论

1801

清嘉庆6年

德

Guass系统将复数与几何建立关系

1847

清道光27年

英

Boole创立逻辑代数

1872

清同治11年

德

Dedekind命名有理数、无理数与实数

1874

清同治13年

德

Cantor证明实数与数轴上点一一对应

1891

清光绪17年

意大利

Peano提出正整数公理

1936

民国25年

美

Shannon将逻辑代数用于电子电路

1946

民国35年

美

第一台电子计算机问世

Hippasus虽然死了，但他的“无公度比”的观念并没有随之消亡。Plato学派的前驱Theodorus又证明了、、也没有公度比，可惜这一学派又不愿接受无理数这一新概念。之后的Eudoxus及Euclid是通过“量”概念的引入，用几何方法处理这种“无公度比”（用现在的话说，就是找近似的有理数来代替这个数），这又基本上将无理数抹杀。在东方的印度，也同样在十二世纪仍将无理数当作有理数加以处理。直至十九世纪的1872年，德国的Dedekind才将之分离出来，为区分以往的数而命名为无理数，将原有的可以化为整数比的数称有理数，并将无理数与有理数统称实数，创建了实数理论；之后的1874年，德国的Cator验证了Dedekind理论的正确性，并证明了“实数与数轴上点一一对应”的理论，至此，完成了真正意义上的实数理论。

四，无聊游戏中出现的复数