17．(14分)已知四棱锥S--ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上任意一点.

(Ⅰ)求证：平面EBD平面SAC；

(Ⅱ)设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

(Ⅲ)当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°。

解法一：

证明(Ⅰ)：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC,

∵ SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，∴SABD，

∵SAÇAC=A，∴BD^面SAC，

又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD平面SAC…………4分

解(Ⅱ)：由(Ⅰ)知，BD^面SAC，又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，设ACBD=O，

则平面SBD平面SAC=SO，过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离.

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，

又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为………………9分

解(Ⅲ)：作BM⊥SC于M，连结DM，

∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，

又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.………………………………11分

要使∠BMD=120°,只须，

即BM²=，而BD²=2AB²，∴BM²=AB²，

∵BM×SC=SB×BC，SC²=SB²+BC²，∴BM²×SC²=SB²×BC²，∴AB²(SB²+BC²)= SB²×BC²，

∵AB=BC，∴2SB²+2AB²=3SB²，∴SB²=2AB²，

又∵AB²=SB²-SA²，∴AB²=SA²，∴，

故当时，二面角B-SC-D的大小为120……………………………14分

解法二：

证明(Ⅰ)同解法一.……………………………………4分

∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，如图，建立直解坐标系A-xyz.

(Ⅱ)A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，S(0，0，4)，设平面SBD的法向量为，则⊥，⊥，

∴，，而=(2，0，-4)，=(0，2，-4)

∴，∴x=2,y=2,即，

则点A到平面SBD的距离d==……………………9分

(Ⅲ)设AB=a，SA=b，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a,a,0),D(0，a，0)，S(0，0，b),SB=；

设平面SBC的法向量=(x₁,y₁,-1),平面SDC的法向量=(x₂,y₂,1)

则,而=(0，a,0),=(-a,0,0),=(a,a,-b)

∴,∴x₁=,y₁=0，x₂=0,y₂=

∴=(,0,-1),=(0, ,1), ……………………………………12分

∴cos<,>==,要使二面角B-SC-D的大小为120，只需=-，即a=b,∴，

故当时，二面角B-SC-D的大小为120.……………………14分

16．(12分)下表为某体育训练队跳高与跳远成绩的统计表，全队有队员40人，成绩分为1分至5分五个档次，例如表中所示：跳高成绩为4分的人数是：1+0+2+5+1=9人；跳远成绩为2分的人数是：0+5+4+0+1=10人；跳高成绩为4分且跳远成绩为2分的队员为5人.

将记载着跳高、跳远成绩的全部队员的姓名卡40张混合在一起，任取一张，记该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为y，设x，y为随机变量(注：没有相同姓名的队员)

　　 (1)求的值；

(2)求的概率及且的概率；

(3)若y的数学期望为，求m，n的值.

解：(1)………………………………………3分

(2)当时的概率为…………………………………5分

当且时的概率为………………………………7分

(3)

，，，

因为y的数学期望为，所以……………11分

于是，…………………………………………………12分

15．(13分)已知向量=(sin,2cos)，=()

(Ⅰ)当qÎ[0，p]时，求函数f()=×的值域；

(Ⅱ)若∥，求sin2的值.

解：(Ⅰ)由f()=×得，……4分

∵qÎ[0，p]，

∴的值域为[-1，2]……………………………………………………… 7分

(Ⅱ)∵∥，∴,

∴…………………………………………………………………10分

∴……………………………13分

(其它解法相应给分)

22、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。

　　 设数列的前项和，

(1)求数列的通项公式；

(2)试构造一个数列，(写出的一个通项公式)满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；

(3)设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令(为正整数)，求数列的变号数。

解：(1)∵的解集有且只有一个元素，∴，

　　 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。

　　 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。

　　 综上，得，，∴，∴

　 (2)要使，可构造数列，∵对任意的正整数都有，

　　　 ∴当时，恒成立，即恒成立，即，

　　　 又，∴，∴，等等。

　 (3)解法一：由题设，

∵时，，∴时，数列递增，

∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；

又∵，即，∴此处变号数有个。

综上得 数列共有个变号数，即变号数为。

解法二：由题设，

　　　 时，令；

　　　 又∵，∴时也有。

综上得 数列共有个变号数，即变号数为。

21、设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。

　 (1)求函数的表达式，并求其定义域；

　 (2)当时，求函数的值域；

　 (3)是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：(1)，。

　 (2)∵，∴函数的定义域为，令，则，，

　　　 ∴，

∵时，，又时，递减，∴单调递增，

　　　 ∴，即函数的值域为。

　 (3)假设存在这样的自然数满足条件，令，则，

　　　 ∵，则，要满足值域为，则要满足，

　　　 　由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，

　　　 ∴，

　　 　又在上是增函数，在上是减函数，∴，

　　　 综上，得 　。

20、人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：

●截至05年6月底，俄罗斯人口为亿，人口密度每平方公里只有人；

●04年一年俄人口就减少了万，05年1月至5月共又减少了万；

●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约亿人口，比目前锐减。

试根据以上数据信息回答下列问题：

(1)以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？(保留三位小数)

(2)按第(1)小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人？

解：(1)由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少万人，

2005年6月底至2050年6月底共经过个月，若每月人口减少数相同，

则到2050年6月底俄罗斯的人口数约为万，即约为亿。

　 (2)设从05年6月底起，经个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人，

　　　 于是有，

　 ∴至少要经过个月，即年零个月，也就是到2078年7月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人。

19、求证：不存在虚数同时满足：①；②(为实数且)。

　 解：假设存在虚数同时满足两个条件，

即与假设矛盾，

　∴不存在虚数同时满足①②两个条件。

18、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，直线与抛物线交于点、，求向量和夹角的大小。

　解：，由抛物线的对称性，不妨设，则直线的方程为，

　　 把它代入，得，则，设向量和夹角为，

　　 则，由对称性，当时，结论相同。

　 ∴向量和夹角的大小为。

17、已知：向量，求：。

　解法一：由，又由条件得，∴，

　　　 　∴。

解法二：∵，

　　　 　∴。

16、若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是　　 (　 C　 )

　 A，； B，；　 C，；　 D，。