5．将函数y=4x+3的图象按向量a平移到y=4x+16的图象，则向量a可以为　　　　　 (　　 )

　　　 A．(3，1)　　　　　　 B．(－3，－1)　　　 C．(3，－1)　　　　　 D．(－3，1)

4．若圆和圆关于对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

3．一个工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查。已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线的生产的产品数量是YCY　 (　　 )

　　　 A．12000　　　　　　　　 B．6000　　　　　　　　　 C．4000　　　　　　　　　 D．8000

2．如右图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是

　 CC₁、C₁D₁的中点，则异面直线EF和BD所成的角

　 的大小为　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．75°　　　　　　　　　 B．60°

　　　 C．45°　　　　　　　　　 D．30°

1．已知集合，则　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 　　　 A．R　　　　　　　　　　　 B．(1，+)　　　　 C．()　　　　　 D．[1，+]

(17)(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)＝(sinωx+acosωx)(a∈R，0＜ω≤1)满足：f(x)＝f(－x)，f(x－π)＝f(x+π)．

　　 (I)求f(x)的解析式；

　　 (II)若m²－4n＞0，m，n∈R，求证：“｜m｜+｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

解：(I)由f(x－π)＝f(x+π)知f(x)＝f(x+2π)，即函数f(x)的周期为2π．

∵　 f(x)＝(sinωx+acosωx)＝sin(ωx+j)，其中sinj＝，cosj＝，

∴　 ≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴　 ω＝1．

又∵　 f(x)＝f(－x)，∴　 f(0)＝f()，

即 (sin0+acos0)＝(sin+acos)，解得　 a＝，∴ f(x)＝sin(x+)．

(II)显然，x∈(－，)等价于x+∈(－，)．

令u＝x+，f(x)＝t，g(t)＝t²+mt+n，则f(x)＝sinu，

由｜m｜+｜n｜＜1得｜m+n｜≤｜m｜+｜n｜＜1，∴ m+n＞－1．

同理由｜m－n｜≤｜m｜+｜n｜＜1得m－n＜1．

∴ 　g(1)＝m+n+1＞0，g(－1)＝1－m+n＞0．

又∵｜m｜≤｜m｜+｜n｜＜1，∴－∈(－1，1)．

又∵Δ＝m²－4n＞0，∴　 一元二次方程t²+mt+n＝0在区间(－1，1)内有两个不等的实根．

∵　 函数y＝sinu(u∈(－，))与u＝x+(x∈(－，))都是增函数，

∴　 [f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根．

∴　 “｜m｜+｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根”的充分条件．

令m＝，n＝，由于方程t²+t+＝0有两个不等的实根－，－，

且－，－∈(－1，1)，

∴　 方程sin²(x+)+sin(x+)+＝0在(－，)内有两个不等的实根，

但　 ｜m｜+｜n｜＝+＝1，

故“｜m｜+｜n｜＜1”不是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根”的必要条件．

综上，“｜m｜+｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根”的充分不必要条件．

(18)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a^x－2－1(a＞0，a≠1).

(I)求函数f(x)的定义域、值域；

(II)是否存在实数，使得函数f(x)满足：对于区间(2，+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

(I)解：由4－a^x≥0,得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．

即当a＞1时，f(x)的定义域为(－∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为[log_a4，+∞)．

令t＝，则0≤t＜2，且a^x＝4－t²，∴ f(x)＝4－t²－2t－1＝－(t+1)²+4，

当t≥0时，f(x)是t的单调减函数，∴f(2)＜f(x)≤f(0)，即－5＜f(x)≤3，

∴ 函数f(x)的值域是(－5，3]．

(II)若存在实数a使得对于区间(2，+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0，则区间(2，+∞)是定义域的子集．由(I)知，a＞1不满足条件；若0＜a＜1，则log_a4＜2，且f(x)是x的减函数．

当x＞2时，a^x＜a²．由于0＜a²＜1，∴t＝＞，

∴f(x)＜0，即f(x)≥0不成立．

综上，满足条件的a的取值范围是Æ．

(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．

(Ⅰ)求证：直线PD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小．

(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA中，AD＝a，PD＝a，PA＝a，)

∴ AD²+PD²＝PA²，即 PD⊥AD．同理，PD⊥CD． 　　　　　　　　(第19题)

又AD、CDÌ平面ABCD，ADCD＝D，∴ 直线PD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)解：如图，连接AC和BD，设ACBD＝O．由(I)知AC⊥PD．

又 AC⊥BD，且PD、BDÌ平面PBD，PDBD＝D，

∴ 直线AC⊥平面PBD．

过点O作OE⊥PB，E为垂足，连接AE．

由三垂线定理知 AE⊥PB，∴ ∠AEO为二面角A－PB－D的平面角．

∵ AB⊥AD，由三垂线定理知 AB⊥PA，

∴ 在ΔPAB中，AE＝＝a，在ΔABD中，OA＝a，

在ΔAOE中，sin∠AEO＝＝＝，即 ∠AEO＝60^o，∴ 二面角A－PB－D为60^o．

(20)(本小题满分12分)

以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：

①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；

②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的倍；

③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．

(I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；

(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？

解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx+b(k＜0)，

则旺季的最高价格为－元/件，利润函

L(x)＝(x－100)·(kx+b)＝kx²－(100k－b)－100b，x∈[100，－]，

当x＝＝50－ 时，L(x)最大，由题意知，50－ ＝140，解得 － ＝180，

即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×＝120(元/件)．

现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt+n(m＜0)，

则淡季的最高价格为－＝120(元/件)，即n＝－120m，

利润函数L(t)＝(t－100)·(mt+n)＝(t－100)·(mt－120m)

　　　　　　　　　 ＝－m(t－100)·(120－t)，t∈[100，120]．

∴　　 t－100＝120－t，即t＝110时，L(t)为最大，

∴　 在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．

(21)(本小题满分12分)

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄＝28且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．

(I)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(II)若b_n＝a_nloga_n，S_n＝b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n·2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

解：(I)设此等比数列为a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，其中a₁≠0，q≠0．

由题知

由②×7－①得　　　　 6a₁q³－15a₁q²+6a₁q＝0，

即　　　　　　　　　 2q²－5q+2＝0，

解得　　　　　　　　　　 q＝2或q＝．

∵　 等比数列{a_n}单调递增，∴a₁＝2，q＝2，∴ a_n＝2·2^n-1＝2ⁿ．

(II)由(I)得　　　 b_n＝a_nloga_n＝2ⁿlog2ⁿ＝－n·2ⁿ，

∴　　　　　　　　 S_n＝b₁+b₂+…+b_n＝－(1×2+2×2²+3×2³+…+n·2ⁿ)．

设　　　　　　　　 T_n＝1×2+2×2²+3×2³+…+n·2ⁿ，　　　　　 　　　③

则　　　　　　　　 2T_n＝　　　 1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n·2ⁿ⁺¹，　　　 　④

由③－④得　　　 －T_n＝1×2+1×2²+1×2³+…+1×2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹

　　　　　　　　　　 ＝2ⁿ⁺¹－2－n·2ⁿ⁺¹＝－(n－1)2ⁿ⁺¹－2，

∴　　　　　　　　 S_n＝－(n－1)·2ⁿ⁺¹－2．

要使S_n+n·2ⁿ⁺¹＞30成立，即要 －(n－1)·2ⁿ⁺¹－2+n·2ⁿ⁺¹＞50，

即要　　　　　　　　　　　　　 2ⁿ＞26．　　　　　　　　　　　 　　　　⑤

∵　 函数y＝2^x是单调增函数，且2⁴＝16＜26，3⁵＝32＞26，

由⑤得n的最小值是5．

(22)(本小题满分14分)已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)是椭圆C的两个焦点，过F₁的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．

(I)求椭圆C的方程；

(II)设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．

解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C的方程为+＝1(a＞b＞0)，其中c＝2，a²－b²＝4．

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x＝－2，代入+＝1，得y²＝b²(1－)＝，

∴　 |y₁－y₂|＝，即|AB|＝．

若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y＝k(x+2)，代入+＝1，

得　　　　　　　　　 +＝1，

即　　　　　　　　 (a²k²+b²)x²+4a²k²x+a²(4k²－b²)＝0．

　　　 △＝(4a²k²)²－4(a²k²+b²)a²(4k²－b²)＝4a²b²[(a²－4)k²+b²]＝4a²b⁴(1+k²)，

∴　　　　 |x₁－x₂|＝，

∴　　　　 |MN|＝·＝＝·＞．

综上，|MN|的最小值为．由题知　 ＝6，即　 b²＝3a．

代入a²－b²＝4，得a²－3a－4＝0，解得a＝－1(舍)，或a＝4．∴　 b²＝12．

∴　 椭圆C的方程为+＝1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(－4，0)，B(4，0)．当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．

根据椭圆的对称性，不妨取M(－2，3)，∠AMB即直线AM到直线MB的角．

∵　 AM的斜率k₁＝＝，BM的斜率k₂＝＝－，

∴　 tan∠AMB＝＝＝－8．

∵　 ∠AMB∈(0，π)，∴　 ∠AMB＝π－arctan8．

(13)已知命题p：不等式｜x｜+｜x－1｜＞a的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2a)^x是减函数，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是　　 [1，2)　 　．

(14)计算：＝　 　　 ．

(15)已知f(x)＝，若函数y＝g(x)的图象与y＝f^－1(x)+1的图象关于直线y＝x对称，则g(3)＝__7_．

(16)给出四个命题①函数y＝a^|x|与y＝log_a|x|的图象关于直线y＝x对称(a＞0，a≠1)；②函数y＝a^|x|与y＝()^|x|的图象关于y轴对称(a＞0，a≠1)；③函数y＝log_a|x|与log|x|的图象关于x轴对称(a＞0，a≠1)；④函数y＝f(x)与y＝f ^－1(x+1)的图象关于直线y＝x+1对称，其中正确的命题是 ③　 ．

(1)若集合P＝{x｜x＝3m+1，m∈N^*}，Q＝{y｜y＝5n+2，n∈N^*}，则P∩Q＝ (　 B　 ) A.{x｜x＝15k－7，k∈N^*}　　　　 　　　　　　　B.{x｜x＝15k－8，k∈N^*}

C.{x｜x＝15k+8，k∈N^*}　　　　　 　　　　　D.{x｜x＝15k+7，k∈N^*}

(2)已知tan160^o＝a，则sin2000^o的值是(　 A　 )

A.　　　 　B.－　 　　　　C.　　 　　　D.－

(3)等差数列{a_n}中，若a₁+a₄+a₇＝39，a₃+a₆+a₉＝27，则前9项的和S₉等于(　 B　 ) A.66　　　　　 　B.99　 　　　　　　C.144　　　　　　 D.297

(4)已知函数f(x)＝log₂(x²－2ax+4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是　　　　 (　 C 　)

A.(－∞，－4)(1，∞)　 B.[－4， C.(－∞，－4][1，∞) 　D.(－4，1)

(5)设函数f(x)＝1－x²+log(x－1)，则下列说法正确的是 (　 D　 )　

A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值　 　　　B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值

C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值　 　　　D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值

　(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1+k，2+k－k²)，若a⊥b，则实数k为(　 B　 )

A.－1　　　　　 B.0　 　　　　　C.－1或0　　 　　D.－1或4

(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，+∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x+a)－f(x)都是其定义域上的减函数，则函数y＝f(x)的图象可能是 (　 C　 )　

　 　　　A　　　　　　 　　　B　　　　 　　　　　　　C　　　 　　　　　　D

(8)在直角坐标系中，函数y＝－2的图像关于直线y＝x的对称曲线为 (　 D　 )

　

(9)已知定义在实数集上的函数满足f (x+1)＝+2，则f ^－1(x+1)的表达式是(　 B　 )

A.2x－2　　 　　　　　B.2x－1　　　 　　　　C.2x+2　　　 　　　　　D.2x+1

(10)已知函数f(x)＝x²+ax+b，且对任意实数x都有f(x)＝f(－m－x)，其中m∈(0，2)，那么(　 B　 )

　 　A.f(－2)＜f(0)＜f(2)　　 　B.f(0)＜f(－2)＜f(2)　 　　

C.f(0)＜f(2)＜f(－2)　 　　D.f(2)＜f(0)＜f(－2)

(11) 函数y＝－sinx+cosx在x∈[－]时的值域是 (　 D　 )

A. [0，] 　　　　　B.[－，0]　 　　C.[0，1]　 　　　D.[0，]

(12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 (　 C　 )　　

A.7个　　　 　　　　　B.8个　　　　 　　　　　C.9个　　 　　　　　　D.10个

18．(14分)已知定点F(1,0)，动点P在y轴(不含原点)上运动，过点P作线段PM交x轴于点M，使；再延长线段MP到点N，使。

(Ⅰ)求动点N的轨迹C的方程；

(Ⅱ)直线L与轨迹C交于A、B两点，如果=－4且，求直线L的方程。

解：(Ⅰ)设N(x,y)，P(0，p)，由题意知，P为MN的中点，∴M(-x,2p-y)，又M在x轴上，∴2p-y=0,即p=,∴P(0,),M(-x，0)

∵，∴(-x，-)×(1，-)=0,∴y²=4x(x>0)

∴动点N的轨迹C的方程为y²=4x(x>0)

(Ⅱ)若直线L的斜率不存在，设直线L的方程为x=a>0，此时，A(a,),B(a,), =a²-4a=-4,∴a=2，，|AB|=¹,不符合题意，舍去。∴直线L的斜率存在。

设直线L的方程为y=kx+b,A、B,

由消去y整理得，ky²-4y+4b=0,△=16-16kb>0,y₁+y₂=,y₁y₂=

===-4,∴b= -2k，∴y₁y₂=-8

|AB|===,

∵∴

　∴k=±1　 ∴当k=1时，b=-2,当k=-1时，b=2；所以直线L的方程为y=x-2或y=-x+2

(19)(14分)设函数的图象过点(-1，2)。

(Ⅰ)试用a表示b；

(Ⅱ)当a=3时，求f(x)的单调区间与极值；

(Ⅲ)若a<0且f(-1)是函数f(x)的极小值，求a的取值范围。

解：(Ⅰ)∵函数的图象过点(-1，2),

∴,整理得，a-3b-12=0.

(Ⅱ)当a=3时，由a-3b-12=0得，b=-3, ∴f(x)=x³-3x，=3(x+1)(x-1)，令,解得x₁=-1,x₂=1。当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：

x	(-¥,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+¥)
	+	0	-	0	+
f(x)		极大值2		极小值-2

所以，f(x)的单调增区间是(-¥,-1)，(1,+¥)，单调减区间是(-1，1)，极大值是f(-1)=2，极小值是f(1)=-2。

(Ⅲ)=(x+1)(ax+b),∵a<0且f(-1)是函数f(x)的极小值，∴>-1，又∵a-3b-12=0,∴,∴,解得，a<-6,∴a的取值范围为(-¥,-6)

(20)(13分)已知数列{}满足，且是的等差中项。

(Ⅰ)求数列{}的通项公式；

(Ⅱ)若=，求使S>50成立的正整数n的最小值。

解：(Ⅰ)∵，即，∴数列{}是以2为公比的等比数列。

∵是的等差中项，∴，∴，∴，

∴数列{}的通项公式。

(Ⅱ)由(Ⅰ)及=得，，

∵，

∴　　　 1

∴　 2

2-1得，=

要使S>50成立，只需2ⁿ⁺¹-2>50成立，即2ⁿ⁺¹>52，n³5

∴使S>50成立的正整数n的最小值为5。

17．(14分)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上的一点。

(Ⅰ)求证：平面EBD平面SAC；

(Ⅱ)设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

(Ⅲ)当SA=AB时，求二面角B-SC-D的大小。

解法一：

证明(Ⅰ)：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC, ∵ SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，∴SABD，∵SAÇAC=A，∴BD^面SAC，又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD平面SAC

解(Ⅱ)：由 (Ⅰ)知，BD^面SAC，又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，

设ACÇBD=O，则平面SBDÇ平面SAC=SO，过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离。

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴点A到平面SBD的距离为

解(Ⅲ)：作BM⊥SC于M，连结DM，∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM. 在正方形ABCD中，设AB=a，则AC=BD=a,∵AB=SA，∴SB=a，SC=a,∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a. ∴cos∠BMD=，∴二面角B-SC-D的大小为120。

解法二：

证明(Ⅰ)同解法一。

∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，如图，建立直解坐标系A-xyz。

(Ⅱ)A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，S(0，0，4)，设平面SBD的法向量为，则⊥，⊥，

∴，，而=(2，0，-4)，=(0，2，-4)

∴，∴x=2,y=2,即，则点A到平面SBD的距离d==

(Ⅲ)设SA=AB=a，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a,a,0),D(0，a，0)，S(0，0，a)；设平面SBC的法向量=(x₁,y₁,-1),平面SDC的法向量=(x₂,y₂,1)

则,而=(0，a,0),=(-a,0,0),=(a,a,-a)

∴,∴x₁=-1,y₁=0，x₂=0,y₂=1

∴=(-1,0,-1),=(0, 1,1), ∴cos<,>==,∴二面角B-SC-D的大小为120。