23． 设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有．

(Ⅰ)求，判断并证明函数的单调性；

(Ⅱ)数列满足，且．

①求通项公式．

②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

[解析](Ⅰ)时，f(x)＞1．

令x＝－1，y＝0，则f(－1)＝f(－1)f(0)．∵f(－1)＞1 ，∴f(0)＝1．

若x＞0，则f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)．

故，故x∈R， f(x)＞0．

任取x₁＜x₂，，

，故f(x)在R上减函数．

(Ⅱ)①．由f(x)单调性，a_n+1＝a_n+2 ，

故{a_n}等差数列，．

②．

∴是递增数列．

当n≥2时，，

　，

即．

而a＞1，∴x＞1，故x的取值范围(1，+∞)．

22． 有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片(每张卡片被抽出的可能性相等)，黑色盒中任取2张卡片(每张卡片被抽出的可能性相等)，共取3张卡片．

(Ⅰ)求取出的3张卡片都标有数字0的概率；

(Ⅱ)求取出的3张卡片数字之积是4的概率；

(Ⅲ)求取出的3张卡片数字之积是0的概率．

[解析](Ⅰ)；(Ⅱ)；

(Ⅲ)．

答：(略)．

21． 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是函数f(x)＝的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．

(1)求证：M点的纵坐标为定值；　

(2)若S_n＝f(∈N^*，且n≥2，求S_n．

(3)已知a_n＝其中n∈N^*．

　　 T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ(S_n+1+1)对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

[解析](1)证明：∵ ∴M是AB的中点．设M点的坐标为(x，y)，

　　　　 由(x₁+x₂)＝x＝，得x₁+x₂＝1，则x₁＝1－x₂或x₂＝1－x₁．

　　　　 而y＝(y₁+y₂)＝ ［f(x₁)+f(x₂)］ ＝(+log₂

 ＝(1+log₂　 ＝(1+log₂

 ＝(1+log₂∴M点的纵坐标为定值．

(2)由(1)，知x₁+x₂＝1，f(x₁)+f(x₂)＝y₁+y₂＝1，

　　　 S_n＝f(S_n＝f(，

　　　 两式相加，得

2S_n＝［f()+［f()+…+［f()

　　　　　 ＝ ，∴S_n＝(n≥2，n∈N^*)．

(3)当n≥2时，a_n＝

　　　 T_n＝a₁+a₂+a₃+…+a_n＝［(]

　　　　 ＝(

　　　 由T_n＜λ(S_n+1+1)，得＜λ·∴λ＞

　　　 ∵n+≥4，当且仅当n＝2时等号成立，∴

因此λ＞，即λ的取值范围是(+∞)．

20． 已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．

(1)试证明的图象关于点成中心对称；

(2)当时，求证：；

(3)对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．　　　　

[解析](1)∵，∴．

由已知定理，得的图象关于点成中心对称．

(2)先证明在上是增函数，只要证明在上是增函数．

设，则，

∴在上是增函数．

再由在上是增函数，得

当时，，即．

(3)∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意恒成立．

∴方程无解，即方程无解或有唯一解．

∴或由此得到．

19． 已知函数的图象x轴的交点至少有一个在原点右侧．

　 (1)求实数m的取值范围；

　 (2)令t＝－m+2，求的值(其中[t]表示不大于t的最大整数)；

　 (3)对(2)中的t，求函数的值域．

[解析]若m＝0　 则符合题意．

若m≠0 ，①m<0时，∵两根异号，∴必有一个负根．

②m>0时，由时，方程有两正根．综上得．

(2)∵t＝－m+2 ，∴．当t＝1时，，当t>1时，．

(3)当t＝1时，；当t>1时，＝0，设[t]＝n，且t＝[t]+a，则．

于是．由函数时是增函数，

及．

设递减，∴．

∴．

递减，∴．

于是t>1时，的值域为．

综上的值域为．

18． 设顶点为的抛物线交轴正半轴于、两点，交轴正半轴于 点，圆(圆心为)过、、三点，恰好与轴相切． 求证：．

解：设、、三点的坐标为，，，圆的圆心坐标为，

由韦达定理，知． 原点到圆D的切线为，所以

，即． 故．

点坐标为 ． 由(1)，．

设交轴于，要证与圆相切，即证 ．

　　　　 如果，那么与相似，．

所以只需证 ．而 ，，

　　　　 所以 等价于 ，即只需要证．

　　 由，，所以与圆相切．

17． 在数列{a_n}中，已知，a₁＝2，a_n+1+ a_n+1 a_n－2 a_n．对于任意正整数，

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项a_n的表达式；

(Ⅱ)若 (为常数，且为整数)，求的最小值．

解：(Ⅰ)由题意，对于n∈N^*，，且，即．

由 ，得 ．则数列是首项为，公比为的等比数列．于是， 即 ．　　　　　　　　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)，得． 当时，因为

，

所以

．

又

，故M的最小值为3．

15．(15分)简述学习数学史的意义。

14．(15分)叙述费马大定理，并简要说明该定理的证明过程。

13．(10分)“一个违背万物皆数的理论，葬身了一双发现的眼睛；一次对真理苦苦的追寻，造就了基础数学中最重要的课程；一回回不断地完善理论系统，奠定了数学的基石。” 指的是数学史上的哪三次重大事件？