4．已知向量与不共线，＝+k，＝l+(k，l∈R)，则与共线的条件是(　　 )．

(A)k +l ＝0　　 (B)k －l ＝0

(C)kl+1＝0　　　 (D)kl－1＝0

[提示]

∵　 ∥，

∴　 +k＝l(l+)　 (l∈R)

即　 (1－ll)+(k －l)＝

∵　 、不共线，则

，消去l，

∴　 kl－1＝0．

[答案](D)．

[点评]

本题考查向量共线的充要条件、向量相等的充要条件及逻辑推理能力．即引入l后，再设法消去l，寻求k与l的关系式．

3．已知＝(－2，3)，＝(3，2)，若m₁＝·，m₂＝·(+)，m₃＝(+)，m₄＝(+)(－)，m₅＝(+)²，则m₁，m₂，m₃，m₄，m₅的大小顺序是(　　 )．

(A)m₁＜m₂＝m₃＜m₄＜m₅

(B)m₁＜m₃＝m₄＜m₂＜m₅

(C)m₁＝m₄＜m₂＝m₃＜m₅

(D)m₁＝m₅＜m₄＝m₂＜m₃

[提示]

利用向量的坐标运算，分别计算出m₁＝(－2)×3+3×2＝0，m₂＝(－2)×1+3×5＝13，m₃＝3×1+2×5＝13，m₄＝1×(－5)+5×1＝0，m₅＝26，于是m₁＝m₄＜m₂＝m₃＜m₅．

[答案](C)．

[点评]本题主要考查向量的坐标运算及计算能力．

2．已知向量＝1，0)，＝(0，1)，则与2+垂直的向量是(　　 )．

(A)2－　　 (B)－2

(C)2+　　 (D)+2

[提示一]

利用向量的坐标计算

∵　 ＝(1，0)，＝(0，1)，

∴　 2+＝(2，1)

而－2＝(1，－2)

有(2+)(－2)＝2×1+(－2)×1＝0，

∴　 (2+)⊥(－2)．

[提示二]

利用向量的运算

由已知，得||＝1，||＝1，·＝0，

∴　 (2+)(－2)＝2－3·－2＝0，

∴　 (2+)⊥(－2)．

[提示三]

利用向量的几何意义．由已知，可得与是互相垂直的单位向量．

如图，在直角坐标系中，2+＝．

显然　 2－表示的向量不与垂直，2+表示的向量与重合；+2表示的向量也不与垂直．

[答案](B)．

[点评]

本题主要考查向量垂直的充要条件．通常有三种方法，一是利用向量的坐标运算；二是利用向量的运算，三是利用向量的几何意义．

1．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①(·)－(·)＝；

② ||－||＜|－|；

③(·)－(·)不与垂直；

④(3+2)·(3－2)＝9||²－4||²

中，是真命题的有

(A)①②　　 (B)②③　　 (C)③④　 　(D)②④

[提示]

对于②，||、||，|－|表示三角形的三条边长，可得||－||＜|－|，故②是正确的，排除(C)；对于④，利用向量的运算，可得④正确的．

[答案](D)．

[点评]

本题考查平面向量中零向量、共线向量、向量的垂直、向量的横等有关概念和向量的加、减、与实数的积，数量积这些基本的运算及其运算性质．因为向量的数量积不满足结合律，即(·)·≠·(·)，故命题①是错误的；而对于[(·)－(·)]·＝(·)·－(·)·＝0，有(·)－(·)与是垂直的，故命题③是错误的．

2．在△ABC中，a +b ＝10，而cos C是方程2 x²－3 x －2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．

[提示]

三角形周长为a +b +c，而a +b ＝10已知，故求△ABC周长的最小值．就是求C的最小值，由方程的根可解得cos C的值，借助余弦定理得c与a(或b)的关系，再确定C的最小值．

[答案]

解方程2 x²－3 x －2＝0，得

x ＝2或x ＝－．

∵　 |cos C|≤1，

∴　 cos C ＝－．

由余弦定理，得

c²＝a²+b²－2 ab cos C

＝a²－b²+ab

＝(a +b) ²－ab，

而　 a +b ＝10，

∴　 c²＝100－a(10－a)

＝a²－10 a +100

＝(a －5)²+75．

∴　 当a ＝5时，c有最小值＝5．

∴　 △ABC的周长为　 10+5．

[点评]

本题综合考查余弦定理，二次函数的极值等内容．通过分析题目已知条件，将求三角形周长最小值问题转化为求c边的最小值问题．借助已知条件和余弦定理，建立了关于a的二次函数关系，利用二次函数最值的结论确定出c的最小值，使向量得解．在解决问题的过程也考查分析问题．解决问题的能力．

1．已知P为△ABC内一点，且3+4+5＝．延长AP交BC于点D，若＝，＝，用、表示向量、．

[提示]

注意到＝－，＝－，由已知3+4+5＝，可以得到关于、的表达式，化简即可．对于，可利用与共线予以解决．

[答案]

∵　 ＝－＝－，

＝－＝－，

又　 3+4+5＝，

∴　 3+4(－)+5(－)＝，

化简，得＝+．

设＝t(t∈R)，则

＝t +t．　 ①

又设　 ＝k(k∈R)，

由　 ＝－＝－，得

＝k(－)．

而　 ＝+＝+，

∴　 ＝+k(－)

＝(1－k)+k　 　②

由①、②，得

解得　 t ＝．

代入①，有

＝+．

[点评]

本题是以、为一组基底，寻求、关于、的线性分解式，主要考查了向量的加法．实数与向量的积及运算律，两个向量共线的充要条件，平面向量基本定理，求时，利用了以、为基底的的分解式是唯一确定的，这是求线性分解式常用的方法．

5．在△ABC中，B ＝30°，AB ＝2，S_△ABC＝，则AC的长等于_______．

[提示]由已知，S_△ABC＝AB · BC · sin B ＝×2×BC · sin 30°，得BC ＝，于是BC ＝2．

代入余弦定理，得

AC ²＝AB²+BC²－2 AB · BC · cos B ＝4．

∴　 AC ＝2．

[答案]2．

[点评]本题考查余弦定理的应用，在△ABC中，先由面积求出BC，问题转化为已知两边及一夹角．求第三边，应用余弦定理．

4．把函数y ＝2 x²+x +3的图象C按＝(3，－1)平移到C′，则C′的函数解析式为______．

[提示]

利用平移公式，设P(x，y)为函数y ＝2 x²+x +3图象C上的任一点，经平移后，对应点P′(x′，y′)在C′上，则

即

代入C的方程，得

y′+1＝2 (x′－3)²+(x′－3)+3．

即y′＝2 x′²－13 x′+17．

[答案]y′＝2 x²－13 x +17．

[点评]本题考查平移公式，注意移图是在确定的坐标系xOy内进行的，习惯上将x′，y′仍写成x，y，于是C′的函数解析式为x，y的关系式．

3．在△ABC中，已知B ＝135°，C ＝15°，a ＝5这个三角形的最大边长为______．

[提示]

由已知B ＝135°为三角形中的最大角，其对边b为所求的最大边．

先由已知的B ＝135°，C ＝15°，求得

A ＝180°－(B +C)＝30°．

再由正弦定理，得

b ＝

＝

＝5．

∴　 △ABC的最大边长为5．

[答案]5．

[点评]本题主要考查应用正弦定理解决三角形的有关问题．

2．已知A(2，3)，B(－1，5)，且＝，＝－，则CD中点的坐标是________．

[提示]

要求CD中点的坐标，必先求得点C、D的坐标．

∵　 A(2，3)，B(－1，5)．

∴　 ＝(－3，2)，

∴　 ＝＝(－1，)．

则点C的坐标为(1，)．

又＝－＝(，－)

由点D的坐标为(，)

代入中点坐标公式，得

(，)，即(，)．

[答案](，)．

[点评]本题考查共线向量，向量的坐标运算及线段的定比分点的坐标公式．本题也可代入线段的定比分点的坐标公式．由＝，得＝，即点C分所成的比为，可得点C的坐标；由＝－，得＝－，即点D分所成的比为－，可得点D的坐标．