2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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1. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE\parallel BC$，$AD = BD$，$DE = 2$，则$BC$的长为( )。$$A) 2$$B) 3$$C) 4$$D) 5$
答案：因为$DE\parallel BC$，$AD = BD$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，又因为$AD = BD$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{BC}$，解得$BC = 4$，答案选C。
2. 如图，$E$是平行四边形$ABCD$的边$AD$上的一点，连接$BE$并延长，交$CD$的延长线于点$F$，若$AE:BC = 3:5$，则$FD:DC$等于( )。$$A) 2:3$$B) 2:5$$C) 3:4$$D) 3:5$
答案：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB\parallel CD$，则$\triangle AEB\sim\triangle DEF$，所以$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DF}$，又因为$AE:BC = 3:5$，即$AE:AD = 3:5$，那么$AE:DE = 3:2$，设$AB = CD = x$，$DF = y$，则$\frac{3}{2}=\frac{x}{y}$，所以$\frac{FD}{DC}=\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$，答案选A。
3. 已知点$G$是$\triangle ABC$的重心，如果连接$AG$，并延长$AG$交边$BC$于点$D$，那么下列说法中错误的是( )。$$A) BD = CD$$B) S_{\triangle ABG}=S_{\triangle BDG}$$C) S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$$D) BC = 2BD$
答案：三角形重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。因为点$G$是$\triangle ABC$的重心，$AD$是中线，所以$BD = CD$，$BC = 2BD$，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$（等底等高的三角形面积相等），而$S_{\triangle ABG}= 2S_{\triangle BDG}$，所以说法错误的是B。
4. 如图，在$3×2$的正方形网格中，点$A$、$B$都在格点处，线段$AB$与格线交于点$C$，则线段$AC$与$BC$之比为( )。$$A) 1:2$$$B) 1:3$$$C) 2:\sqrt{5}$$$D) 2:3$
答案：过点$A$作$AD$垂直格线于$D$，过点$B$作$BE$垂直格线于$E$，则$AD\parallel BE$，所以$\triangle ACD\sim\triangle BCE$，由网格可知$AD = 2$，$BE = 3$，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}=\frac{2}{3}$，答案选D。
5. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，$DE\parallel BC$，$AE:EC = 2:3$，则$DE:BC =$______。
答案：因为$AE:EC = 2:3$，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{2 + 3}=\frac{2}{5}$，又因为$DE\parallel BC$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$。
6. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$是$AB$的中点，$DE\parallel BC$交$AC$于点$E$，若$BC = 2$，则$DE =$______。
答案：因为点$D$是$AB$的中点，$DE\parallel BC$，所以$DE$是$\triangle ABC$的中位线，根据中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以$DE =\frac{1}{2}BC = 1$。
7. 如图，$AB$、$CD$相交于点$O$，$AC\parallel BD$，若$OC:CD = 2:5$，$BD = 9$，则$AC =$______。
答案：因为$AC\parallel BD$，所以$\triangle AOC\sim\triangle BOD$，则$\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$，因为$OC:CD = 2:5$，所以$OC:OD = 2:3$，设$AC = x$，则$\frac{2}{3}=\frac{x}{9}$，解得$x = 6$，即$AC = 6$。
8. 如图，$AB\parallel CD$，$AD$与$BC$交于点$O$，已知$AB = 4$，$CD = 3$，$OD = 2$，那么线段$OA$的长为______。
答案：因为$AB\parallel CD$，所以$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，则$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$，设$OA = x$，即$\frac{x}{2}=\frac{4}{3}$，解得$x =\frac{8}{3}$，所以线段$OA$的长为$\frac{8}{3}$。
9. 如图，两个小朋友在水平地面坐跷跷板，支点$O$是跷跷板的中点，若支柱$OC = 0.5m$，当跷跷板的一端$B$完全着地时，跷跷板的另一端$A$离地面的高度为______$m$。
答案：因为支点$O$是跷跷板的中点，且$OC\perp$地面，可构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例，可知$A$离地面的高度是$2OC = 1m$。
