2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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11. 网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上。(1) 在图1的网格中按2:1画出网格中三角形放大后的图形①；(2) 在图2的网格中按1:2画出网格中长方形缩小后的图形②。
答案：本题需根据图形的放大与缩小的性质在网格中画图，由于无法直接以文字形式准确呈现图形，画图步骤如下：(1) 对于图1中三角形的放大，先确定原三角形各顶点的坐标（以网格为参考），然后将各顶点的横、纵坐标都乘以2，得到放大后三角形①各顶点的坐标，最后在网格中连接这些顶点画出图形①。(2) 对于图2中长方形的缩小，先确定原长方形各顶点的坐标（以网格为参考），然后将各顶点的横、纵坐标都乘以$\frac{1}{2}$，得到缩小后长方形②各顶点的坐标，最后在网格中连接这些顶点画出图形②。
12. 如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似，AB = 6，∠B = ∠C = 60°，A'B' = 4，B'C' = 12，C'D' = 8，∠A' = 150°。(1) 求BC、CD的长度；(2) 求∠D、∠D'的大小。
答案：(1) 因为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似，则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$。已知AB = 6，A'B' = 4，B'C' = 12，C'D' = 8，所以$\frac{6}{4}=\frac{BC}{12}=\frac{CD}{8}$。由$\frac{BC}{12}=\frac{6}{4}$，可得BC = 18；由$\frac{CD}{8}=\frac{6}{4}$，可得CD = 12。(2) 在四边形ABCD中，∠A+∠B + ∠C+∠D=360°，已知∠B = ∠C = 60°，由相似多边形对应角相等，∠A = ∠A' = 150°，则∠D = 360° - 150° - 60° - 60° = 90°，因为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似，所以∠D' = ∠D = 90°。
13. 设四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁是相似的图形，且A与A₁、B与B₁、C与C₁是对应点，已知AB = 12，BC = 18，CD = 18，AD = 9，A₁B₁ = 8，求四边形A₁B₁C₁D₁的周长。
答案：因为四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似，则相似比$k = \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。所以$\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{C_{1}D_{1}}{CD}=\frac{A_{1}D_{1}}{AD}=\frac{2}{3}$。已知BC = 18，CD = 18，AD = 9，则B₁C₁ = 18×$\frac{2}{3}$=12，C₁D₁ = 18×$\frac{2}{3}$=12，A₁D₁ = 9×$\frac{2}{3}$=6。所以四边形A₁B₁C₁D₁的周长为A₁B₁ + B₁C₁ + C₁D₁ + A₁D₁ = 8 + 12 + 12 + 6 = 38。
14. 如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形。(1) 若原矩形ABCD的长AB = 6，宽BC = 4，问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由；(2) 若原矩形的长AB = a，宽BC = b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式。
答案：(1) 原矩形ABCD的长AB = 6，宽BC = 4，划分成三个全等的小矩形，则小矩形的长为4，宽为$\frac{6}{3}=2$。原矩形长与宽的比为$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，小矩形长与宽的比为$\frac{4}{2}=2$，因为$\frac{3}{2}\neq2$，所以每个小矩形与原矩形不相似。(2) 原矩形长AB = a，宽BC = b，划分成三个全等的小矩形，则小矩形的长为b，宽为$\frac{a}{3}$。因为每个小矩形与原矩形相似，所以$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{3}}$，即$b^{2}=\frac{1}{3}a^{2}$，整理可得$a = \sqrt{3}b$（a、b均大于0）。
