2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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9. 如图，$\triangle ABC$和$\triangle AFG$为等腰直角三角形，$\angle BAC = \angle AGF = 90^{\circ}$，$AF$、$AG$分别交边$BC$于点$D$、$E$，若$BD = 3$，$DE = 5$，则$AE =$_____.
答案：$2\sqrt{10}$
10. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 4$，点$E$、$F$、$G$分别在边$AB$、$BC$、$CD$上，且$EG\perp AF$，则$\frac{EG}{AF}=$_____.
答案：1
11. 如图，点$E$在正方形$ABCD$的边$AB$上，$AM\perp DE$于点$M$，$CN\perp DE$于点$N$，若$AM = 3$，$N$为$DM$中点，则$AE$长度应是_____.
答案：$\sqrt{10}$
12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 3$，点$E$是$AD$的中点，$CF\perp BE$于点$F$，求$FC$的长.
答案：$\frac{6}{5}$
13. 已知，在$\triangle ABC$中，$D$、$E$分别是边$AC$、$AB$上的点，连接$BD$、$CE$、$DE$，$EC$和$BD$相交于点$O$，且$\angle ABC = \angle ADE$，若$\frac{AE}{AD}=\frac{9}{10}$，求$\frac{AC}{AB}$的值.
答案：$\frac{10}{9}$
14. 如图，在$\triangle ABC$与$\triangle ADE$中，$\angle ABC = \angle ADE$，且$\angle BAD = \angle CAE$. (1)$\triangle ABC$与$\triangle ADE$相似吗？如果相似，请说明理由；(2)连接$BD$，若$B$、$D$、$E$三点共线，记$AC$与$DE$的交点为$H$，若$AE = 2$，$BC = 5$，$\triangle AEH$的面积为$20$，试求$\triangle BCH$的面积.
答案：(1)相似，理由：因为$\angle BAD = \angle CAE$，所以$\angle BAD+\angle DAC = \angle CAE+\angle DAC$，即$\angle BAC = \angle DAE$，又因为$\angle ABC = \angle ADE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$；(2)$125$
