2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
注：当前书本只展示部分页码答案，查看完整答案请下载作业精灵APP。练习册2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. 填空：(1) 已知非零向量$\vec{a}$，向量$\vec{b} = - 5\vec{a}$，那么向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的方向是____，它们的关系是____。(2) 已知$\vec{a}$、$\vec{b}$是两个不平行的向量，$\vec{c}=-\vec{a} + 5\vec{b}$，那么向量$\vec{c}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量分别是____。
答案：(1) 相反；平行向量（或共线向量）。(2) -$\vec{a}$、$5\vec{b}$。
2. 如图，已知平行四边形$ABCD$中，点$M$、$N$分别是边$DC$、$BC$的中点。设$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，求向量$\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{BD}$分别在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。
答案：因为在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。又因为点$M$、$N$分别是边$DC$、$BC$的中点，所以$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\vec{b}$。则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$，$\overrightarrow{MN}$在$\vec{a}$方向上的分向量是$\frac{1}{2}\vec{a}$，在$\vec{b}$方向上的分向量是$-\frac{1}{2}\vec{b}$；$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$，$\overrightarrow{BD}$在$\vec{a}$方向上的分向量是$-\vec{a}$，在$\vec{b}$方向上的分向量是$\vec{b}$。
3. 如图，已知平行四边形$ABCD$中，$E$、$F$分别是边$DC$、$AB$的中点，$AE$、$CF$分别与对角线$BD$相交于点$G$、$H$，设$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，分别求向量$\overrightarrow{GE}$、$\overrightarrow{CH}$关于$\vec{a}$、$\vec{b}$的分解式。
答案：因为四边形$ABCD$是平行四边形，$E$、$F$分别是边$DC$、$AB$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}DC$，$FB = \frac{1}{2}AB$，且$DC\parallel AB$。由相似三角形（$\triangle DEG\sim\triangle BAG$，$\triangle BFH\sim\triangle DCH$）可得$DG=\frac{1}{3}BD$，$BH=\frac{1}{3}BD$。$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec{a}-\vec{b}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$，$\overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})$，则$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DG}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$；$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BH}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=-\vec{b}+\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{4}{3}\vec{b}$。
4. 如图，已知向量$\vec{a}$、$\vec{b}$和$\vec{p}$、$\vec{q}$，求作：(1) 向量$\vec{p}$分别在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。(2) 向量$\vec{q}$分别在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。
答案：(1) 过向量$\vec{p}$的终点作$\vec{a}$、$\vec{b}$的平行线，与$\vec{a}$、$\vec{b}$所在直线相交，得到的与$\vec{a}$、$\vec{b}$平行的向量即为$\vec{p}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。(2) 过向量$\vec{q}$的终点作$\vec{a}$、$\vec{b}$的平行线，与$\vec{a}$、$\vec{b}$所在直线相交，得到的与$\vec{a}$、$\vec{b}$平行的向量即为$\vec{q}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。（具体作图需使用直尺和铅笔按平行四边形法则或三角形法则在给定的向量图上完成）
